Номер 12.9, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.9, страница 125.

Условие.

12.9. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + xy = 15 \\ y^2 + xy = 10 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 3xy = 18 \\ xy + 4y^2 = 7 \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2y^2 + x^2 + xy = 4 \\ 3xy - 2y = 5 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y + \frac{1}{4} = 0 \\ y^2 + x + \frac{1}{4} = 0 \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy = 15 \\ y^2 + xy = 10 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x^2 + xy) + (y^2 + xy) = 15 + 10$

$x^2 + 2xy + y^2 = 25$

Левая часть является полным квадратом суммы:

$(x+y)^2 = 25$

Отсюда следует, что $x+y = 5$ или $x+y = -5$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x+y = 5$.

Выразим $x$ из первого уравнения исходной системы: $x(x+y) = 15$.

Подставим $x+y=5$:

$x \cdot 5 = 15$

$x = 3$

Теперь найдем $y$ из соотношения $x+y=5$:

$3 + y = 5$

$y = 2$

Таким образом, одно из решений — $(3, 2)$.

Случай 2: $x+y = -5$.

Аналогично подставим это значение в уравнение $x(x+y) = 15$:

$x \cdot (-5) = 15$

$x = -3$

Теперь найдем $y$ из соотношения $x+y=-5$:

$-3 + y = -5$

$y = -2$

Таким образом, второе решение — $(-3, -2)$.

Ответ: $(3, 2), (-3, -2)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 3xy = 18 \\ xy + 4y^2 = 7 \end{cases}$

Это система однородных уравнений. Чтобы избавиться от свободных членов, умножим первое уравнение на 7, а второе — на 18:

$\begin{cases} 7(x^2 + 3xy) = 7 \cdot 18 \\ 18(xy + 4y^2) = 18 \cdot 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 7x^2 + 21xy = 126 \\ 18xy + 72y^2 = 126 \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, приравняем их левые части:

$7x^2 + 21xy = 18xy + 72y^2$

$7x^2 + 3xy - 72y^2 = 0$

Заметим, что $y \neq 0$ (иначе из второго уравнения исходной системы следовало бы $0=7$, что неверно). Разделим обе части полученного уравнения на $y^2$:

$7\frac{x^2}{y^2} + 3\frac{xy}{y^2} - \frac{72y^2}{y^2} = 0$

$7(\frac{x}{y})^2 + 3(\frac{x}{y}) - 72 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Уравнение примет вид:

$7t^2 + 3t - 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-72) = 9 + 2016 = 2025 = 45^2$.

$t_1 = \frac{-3 + 45}{2 \cdot 7} = \frac{42}{14} = 3$

$t_2 = \frac{-3 - 45}{2 \cdot 7} = \frac{-48}{14} = -\frac{24}{7}$

Вернемся к замене и рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 3 \Rightarrow x = 3y$.

Подставим $x=3y$ во второе уравнение исходной системы:

$(3y)y + 4y^2 = 7 \Rightarrow 3y^2 + 4y^2 = 7 \Rightarrow 7y^2 = 7 \Rightarrow y^2 = 1$.

Отсюда $y=1$ или $y=-1$.

Если $y=1$, то $x=3 \cdot 1 = 3$. Решение: $(3, 1)$.

Если $y=-1$, то $x=3 \cdot (-1) = -3$. Решение: $(-3, -1)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{24}{7} \Rightarrow x = -\frac{24}{7}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:

$(-\frac{24}{7}y)y + 4y^2 = 7 \Rightarrow -\frac{24}{7}y^2 + 4y^2 = 7 \Rightarrow \frac{4}{7}y^2 = 7 \Rightarrow y^2 = \frac{49}{4}$.

Отсюда $y=\frac{7}{2}$ или $y=-\frac{7}{2}$.

Если $y=\frac{7}{2}$, то $x = -\frac{24}{7} \cdot \frac{7}{2} = -12$. Решение: $(-12, \frac{7}{2})$.

Если $y=-\frac{7}{2}$, то $x = -\frac{24}{7} \cdot (-\frac{7}{2}) = 12$. Решение: $(12, -\frac{7}{2})$.

Ответ: $(3, 1), (-3, -1), (12, -\frac{7}{2}), (-12, \frac{7}{2})$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2y^2 + x^2 + xy = 4 \\ 3xy - 2y = 5 \end{cases}$

Во втором уравнении вынесем $y$ за скобки: $y(3x-2) = 5$.

Заметим, что $3x-2 \neq 0$, так как иначе $0=5$, что неверно. Выразим $y$:

$y = \frac{5}{3x-2}$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$2(\frac{5}{3x-2})^2 + x^2 + x(\frac{5}{3x-2}) = 4$

$\frac{50}{(3x-2)^2} + x^2 + \frac{5x}{3x-2} = 4$

Умножим обе части на $(3x-2)^2 \neq 0$:

$50 + x^2(3x-2)^2 + 5x(3x-2) = 4(3x-2)^2$

$50 + x^2(9x^2 - 12x + 4) + 15x^2 - 10x = 4(9x^2 - 12x + 4)$

$50 + 9x^4 - 12x^3 + 4x^2 + 15x^2 - 10x = 36x^2 - 48x + 16$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$9x^4 - 12x^3 - 17x^2 + 38x + 34 = 0$

Попробуем найти целый корень этого уравнения. Подставим $x=-1$:

$9(-1)^4 - 12(-1)^3 - 17(-1)^2 + 38(-1) + 34 = 9 + 12 - 17 - 38 + 34 = 0$.

Так как $x=-1$ является корнем, разделим многочлен на $(x+1)$, получим:

$(x+1)(9x^3 - 21x^2 + 4x + 34) = 0$

Проверим, является ли $x=-1$ корнем кубического многочлена $9x^3 - 21x^2 + 4x + 34$:

$9(-1)^3 - 21(-1)^2 + 4(-1) + 34 = -9 - 21 - 4 + 34 = 0$.

Да, является. Разделим $9x^3 - 21x^2 + 4x + 34$ на $(x+1)$, получим $9x^2 - 30x + 34$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x+1)^2(9x^2 - 30x + 34) = 0$

Теперь рассмотрим квадратное уравнение $9x^2 - 30x + 34 = 0$. Его дискриминант $D = (-30)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 34 = 900 - 1224 = -324$. Так как $D < 0$, действительных корней у этого уравнения нет.

Следовательно, единственным действительным решением для $x$ является $x=-1$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{5}{3(-1) - 2} = \frac{5}{-5} = -1$

Единственное решение системы — $(-1, -1)$.

Ответ: $(-1, -1)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y + \frac{1}{4} = 0 \\ y^2 + x + \frac{1}{4} = 0 \end{cases}$

Эта система является симметрической. Вычтем из первого уравнения второе:

$(x^2 + y + \frac{1}{4}) - (y^2 + x + \frac{1}{4}) = 0$

$x^2 - y^2 + y - x = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - y^2) - (x - y) = 0$

Разложим на множители:

$(x-y)(x+y) - (x-y) = 0$

$(x-y)(x+y-1) = 0$

Это уравнение распадается на два случая.

Случай 1: $x-y = 0 \Rightarrow x=y$.

Подставим $y=x$ в первое уравнение исходной системы:

$x^2 + x + \frac{1}{4} = 0$

Это полный квадрат:

$(x+\frac{1}{2})^2 = 0$

Отсюда $x = -\frac{1}{2}$. Поскольку $y=x$, то $y = -\frac{1}{2}$.

Получили решение $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

Случай 2: $x+y-1=0 \Rightarrow y=1-x$.

Подставим $y=1-x$ в первое уравнение исходной системы:

$x^2 + (1-x) + \frac{1}{4} = 0$

$x^2 - x + \frac{5}{4} = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{5}{4} = 1 - 5 = -4$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственное решение системы найдено в первом случае.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.