Номер 12.2, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.2, страница 124.

Условие.

12.2. Решите методом подстановки систему уравнений:

1) $\begin{cases} y - 2x^2 = 2, \\ 3x + y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 8, \\ x + y = 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 63, \\ y - x = 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + 2y = 1, \\ x^2 + xy + 2y^2 = 1; \end{cases}$

5) $\begin{cases} (x - 1)(y - 2) = 2, \\ x + y = 6; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 5x - 2y = 3, \\ 3x^2 - 8y = -5. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y - 2x^2 = 2, \\ 3x + y = 1; \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 1 - 3x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(1 - 3x) - 2x^2 = 2$

Решим полученное квадратное уравнение:

$-2x^2 - 3x + 1 - 2 = 0$

$-2x^2 - 3x - 1 = 0$

Умножим на -1, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$2x^2 + 3x + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 1 - 3x$:

При $x_1 = -1$: $y_1 = 1 - 3(-1) = 1 + 3 = 4$.

При $x_2 = -0,5$: $y_2 = 1 - 3(-0,5) = 1 + 1,5 = 2,5$.

Таким образом, решения системы: $(-1; 4)$ и $(-0,5; 2,5)$.

Ответ: $(-1; 4)$, $(-0,5; 2,5)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 8, \\ x + y = 6; \end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 6 - y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(6 - y)^2 - 2y^2 = 8$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$36 - 12y + y^2 - 2y^2 = 8$

$-y^2 - 12y + 36 - 8 = 0$

$-y^2 - 12y + 28 = 0$

Умножим на -1:

$y^2 + 12y - 28 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-12 - \sqrt{256}}{2} = \frac{-12 - 16}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

$y_2 = \frac{-12 + \sqrt{256}}{2} = \frac{-12 + 16}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $x = 6 - y$:

При $y_1 = -14$: $x_1 = 6 - (-14) = 6 + 14 = 20$.

При $y_2 = 2$: $x_2 = 6 - 2 = 4$.

Таким образом, решения системы: $(20; -14)$ и $(4; 2)$.

Ответ: $(20; -14)$, $(4; 2)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 63, \\ y - x = 3; \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = x + 3$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - x(x + 3) + (x + 3)^2 = 63$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x^2 - x^2 - 3x + x^2 + 6x + 9 = 63$

$x^2 + 3x + 9 - 63 = 0$

$x^2 + 3x - 54 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = x + 3$:

При $x_1 = -9$: $y_1 = -9 + 3 = -6$.

При $x_2 = 6$: $y_2 = 6 + 3 = 9$.

Таким образом, решения системы: $(-9; -6)$ и $(6; 9)$.

Ответ: $(-9; -6)$, $(6; 9)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 1, \\ x^2 + xy + 2y^2 = 1; \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 1 - 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(1 - 2y)^2 + (1 - 2y)y + 2y^2 = 1$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$(1 - 4y + 4y^2) + (y - 2y^2) + 2y^2 = 1$

$1 - 4y + 4y^2 + y - 2y^2 + 2y^2 = 1$

$4y^2 - 3y + 1 = 1$

$4y^2 - 3y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(4y - 3) = 0$

Отсюда получаем два значения для $y$:

$y_1 = 0$

$4y_2 - 3 = 0 \implies y_2 = \frac{3}{4}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя выражение $x = 1 - 2y$:

При $y_1 = 0$: $x_1 = 1 - 2(0) = 1$.

При $y_2 = \frac{3}{4}$: $x_2 = 1 - 2(\frac{3}{4}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, решения системы: $(1; 0)$ и $(-\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$.

Ответ: $(1; 0)$, $(-\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$.

5)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (x - 1)(y - 2) = 2, \\ x + y = 6; \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 6 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(x - 1)((6 - x) - 2) = 2$

$(x - 1)(4 - x) = 2$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$4x - x^2 - 4 + x = 2$

$-x^2 + 5x - 4 - 2 = 0$

$-x^2 + 5x - 6 = 0$

Умножим на -1:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 6 - x$:

При $x_1 = 2$: $y_1 = 6 - 2 = 4$.

При $x_2 = 3$: $y_2 = 6 - 3 = 3$.

Таким образом, решения системы: $(2; 4)$ и $(3; 3)$.

Ответ: $(2; 4)$, $(3; 3)$.

6)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x - 2y = 3, \\ 3x^2 - 8y = -5; \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$2y = 5x - 3 \implies y = \frac{5x - 3}{2}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3x^2 - 8\left(\frac{5x - 3}{2}\right) = -5$

$3x^2 - 4(5x - 3) = -5$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$3x^2 - 20x + 12 = -5$

$3x^2 - 20x + 17 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 17 = 400 - 204 = 196$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{20 - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{20 - 14}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{20 + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{20 + 14}{6} = \frac{34}{6} = \frac{17}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = \frac{5x - 3}{2}$:

При $x_1 = 1$: $y_1 = \frac{5(1) - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

При $x_2 = \frac{17}{3}$: $y_2 = \frac{5(\frac{17}{3}) - 3}{2} = \frac{\frac{85}{3} - \frac{9}{3}}{2} = \frac{\frac{76}{3}}{2} = \frac{76}{6} = \frac{38}{3}$.

Таким образом, решения системы: $(1; 1)$ и $(\frac{17}{3}; \frac{38}{3})$.

Ответ: $(1; 1)$, $(\frac{17}{3}; \frac{38}{3})$.