Номер 12.7, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.7, страница 124.

Условие.

12.7. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} (x - 2)(y + 2) = 0, \\ x^2 + 2y^2 - 3x = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x^2 + y^2 - 2xy = 7, \\ (2x - y)y = y; \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x + 4)(y - 1) = x^2 + 5x + 4, \\ x^2 - y^2 - 3x + 8 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 + 2x + 2y = 23, \\ x^2 + y^2 + 2xy = 9. \end{cases}$

Решение.

1)
Исходная система уравнений:
$\begin{cases} (x-2)(y+2) = 0 \\ x^2 + 2y^2 - 3x = 5 \end{cases}$
Первое уравнение $(x-2)(y+2) = 0$ означает, что один из множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: $x-2=0$, откуда $x=2$.
Подставим значение $x=2$ во второе уравнение системы:
$2^2 + 2y^2 - 3(2) = 5$
$4 + 2y^2 - 6 = 5$
$2y^2 - 2 = 5$
$2y^2 = 7$
$y^2 = \frac{7}{2}$
$y = \pm\sqrt{\frac{7}{2}} = \pm\frac{\sqrt{14}}{2}$
В этом случае получаем два решения: $(2; \frac{\sqrt{14}}{2})$ и $(2; -\frac{\sqrt{14}}{2})$.

Случай 2: $y+2=0$, откуда $y=-2$.
Подставим значение $y=-2$ во второе уравнение системы:
$x^2 + 2(-2)^2 - 3x = 5$
$x^2 + 2(4) - 3x = 5$
$x^2 + 8 - 3x = 5$
$x^2 - 3x + 3 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, действительных корней для $x$ в этом случае нет.

Таким образом, решениями системы являются только пары чисел, найденные в первом случае.
Ответ: $(2; \frac{\sqrt{14}}{2})$, $(2; -\frac{\sqrt{14}}{2})$.

2)
Исходная система уравнений:
$\begin{cases} 4x^2 + y^2 - 2xy = 7 \\ (2x - y)y = y \end{cases}$
Преобразуем второе уравнение системы:
$(2x - y)y - y = 0$
$y((2x - y) - 1) = 0$
$y(2x - y - 1) = 0$
Это уравнение выполняется в двух случаях.

Случай 1: $y=0$.
Подставим $y=0$ в первое уравнение системы:
$4x^2 + 0^2 - 2x(0) = 7$
$4x^2 = 7$
$x^2 = \frac{7}{4}$
$x = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}$
Получаем два решения: $(\frac{\sqrt{7}}{2}; 0)$ и $(-\frac{\sqrt{7}}{2}; 0)$.

Случай 2: $2x-y-1=0$, откуда $y=2x-1$.
Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:
$4x^2 + (2x-1)^2 - 2x(2x-1) = 7$
$4x^2 + (4x^2 - 4x + 1) - (4x^2 - 2x) = 7$
$4x^2 + 4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 + 2x = 7$
$4x^2 - 2x - 6 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$2x^2 - x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 5}{4}$
$x_1 = \frac{1+5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{1-5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y=2x-1$:
Если $x_1 = \frac{3}{2}$, то $y_1 = 2(\frac{3}{2}) - 1 = 3 - 1 = 2$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$.
Получаем еще два решения: $(\frac{3}{2}; 2)$ и $(-1; -3)$.

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.
Ответ: $(\frac{\sqrt{7}}{2}; 0)$, $(-\frac{\sqrt{7}}{2}; 0)$, $(\frac{3}{2}; 2)$, $(-1; -3)$.

3)
Исходная система уравнений:
$\begin{cases} (x+4)(y-1) = x^2 + 5x + 4 \\ x^2 - y^2 - 3x + 8 = 0 \end{cases}$
Преобразуем первое уравнение. Разложим его правую часть на множители: $x^2 + 5x + 4 = (x+4)(x+1)$.
Уравнение примет вид:
$(x+4)(y-1) = (x+4)(x+1)$
$(x+4)(y-1) - (x+4)(x+1) = 0$
$(x+4)((y-1) - (x+1)) = 0$
$(x+4)(y - x - 2) = 0$
Это уравнение распадается на два случая.

Случай 1: $x+4=0$, откуда $x=-4$.
Подставим $x=-4$ во второе уравнение системы:
$(-4)^2 - y^2 - 3(-4) + 8 = 0$
$16 - y^2 + 12 + 8 = 0$
$36 - y^2 = 0$
$y^2 = 36$
$y = \pm 6$
Получаем два решения: $(-4; 6)$ и $(-4; -6)$.

Случай 2: $y-x-2=0$, откуда $y=x+2$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x^2 - (x+2)^2 - 3x + 8 = 0$
$x^2 - (x^2 + 4x + 4) - 3x + 8 = 0$
$x^2 - x^2 - 4x - 4 - 3x + 8 = 0$
$-7x + 4 = 0$
$x = \frac{4}{7}$
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = x + 2 = \frac{4}{7} + 2 = \frac{4+14}{7} = \frac{18}{7}$.
Получаем еще одно решение: $(\frac{4}{7}; \frac{18}{7})$.

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.
Ответ: $(-4; 6)$, $(-4; -6)$, $(\frac{4}{7}; \frac{18}{7})$.

4)
Исходная система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + y^2 + 2x + 2y = 23 \\ x^2 + y^2 + 2xy = 9 \end{cases}$
Преобразуем второе уравнение, заметив, что левая часть является полным квадратом:
$x^2 + 2xy + y^2 = 9$
$(x+y)^2 = 9$
Отсюда следует, что $x+y = 3$ или $x+y = -3$.
Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x+y = 3$.
Преобразуем первое уравнение системы: $(x^2+y^2)+2(x+y)=23$.
Воспользуемся тождеством $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.
Подставим $x+y=3$: $x^2+y^2 = 3^2 - 2xy = 9 - 2xy$.
Теперь подставим это в преобразованное первое уравнение:
$(9 - 2xy) + 2(3) = 23$
$9 - 2xy + 6 = 23$
$15 - 2xy = 23$
$-2xy = 8$
$xy = -4$
Мы получили систему: $\begin{cases} x+y=3 \\ xy=-4 \end{cases}$.
Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t - 4 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1=4$, $t_2=-1$.
Следовательно, получаем две пары решений: $(4; -1)$ и $(-1; 4)$.

Случай 2: $x+y = -3$.
Аналогично первому случаю, подставим $x+y=-3$ в первое уравнение.
$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (-3)^2 - 2xy = 9 - 2xy$.
$(9 - 2xy) + 2(-3) = 23$
$9 - 2xy - 6 = 23$
$3 - 2xy = 23$
$-2xy = 20$
$xy = -10$
Мы получили систему: $\begin{cases} x+y=-3 \\ xy=-10 \end{cases}$.
Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-3)t - 10 = 0$, то есть $t^2 + 3t - 10 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1=-5$, $t_2=2$.
Следовательно, получаем еще две пары решений: $(-5; 2)$ и $(2; -5)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $(4; -1)$, $(-1; 4)$, $(-5; 2)$, $(2; -5)$.