Номер 12.3, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.3, страница 124.

Условие.

12.3. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}; \\ 2x - y = 2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{3x + y}{x - 1} - \frac{x - y}{2y} = 2; \\ x - y = 4; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{2}{y - 1} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5}{2}; \\ \frac{1}{x - 2} = -\frac{3}{y}. \end{cases} $

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ 2x - y = 2 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, y \neq 0$.

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 2x - 2$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$$ \frac{1}{x} - \frac{1}{2x - 2} = \frac{1}{12} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(2x - 2)$:

$$ \frac{(2x - 2) - x}{x(2x - 2)} = \frac{1}{12} $$

$$ \frac{x - 2}{2x^2 - 2x} = \frac{1}{12} $$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$$ 12(x - 2) = 1 \cdot (2x^2 - 2x) $$

$$ 12x - 24 = 2x^2 - 2x $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ 2x^2 - 2x - 12x + 24 = 0 $$

$$ 2x^2 - 14x + 24 = 0 $$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$$ x^2 - 7x + 12 = 0 $$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя подстановку $y = 2x - 2$.

Для $x_1 = 3$: $y_1 = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$.

Для $x_2 = 4$: $y_2 = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6$.

Обе пары чисел $(3; 4)$ и $(4; 6)$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3; 4)$, $(4; 6)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{3x + y}{x - 1} - \frac{x - y}{2y} = 2 \\ x - y = 4 \end{cases} $$

ОДЗ: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $2y \neq 0 \Rightarrow y \neq 0$.

Из второго уравнения системы мы знаем, что $x - y = 4$. Подставим это значение в первое уравнение:

$$ \frac{3x + y}{x - 1} - \frac{4}{2y} = 2 $$

$$ \frac{3x + y}{x - 1} - \frac{2}{y} = 2 $$

Также из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 4$. Подставим это выражение в преобразованное первое уравнение:

$$ \frac{3(y + 4) + y}{(y + 4) - 1} - \frac{2}{y} = 2 $$

$$ \frac{3y + 12 + y}{y + 3} - \frac{2}{y} = 2 $$

$$ \frac{4y + 12}{y + 3} - \frac{2}{y} = 2 $$

В числителе первой дроби вынесем общий множитель 4 за скобки:

$$ \frac{4(y + 3)}{y + 3} - \frac{2}{y} = 2 $$

При условии, что $y + 3 \neq 0$ (т.е. $y \neq -3$), мы можем сократить первую дробь:

$$ 4 - \frac{2}{y} = 2 $$

Решим полученное простое уравнение относительно $y$:

$$ 4 - 2 = \frac{2}{y} $$

$$ 2 = \frac{2}{y} $$

Отсюда следует, что $y = 1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($y \neq 0$) и дополнительному условию $y \neq -3$.

Теперь найдем соответствующее значение $x$ из уравнения $x = y + 4$:

$$ x = 1 + 4 = 5 $$

Это значение также удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$).

Таким образом, решением системы является пара чисел $(5; 1)$.

Ответ: $(5; 1)$.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{2}{y-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{2} \\ \frac{1}{x-2} = -\frac{3}{y} \end{cases} $$

ОДЗ: $y - 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$, $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$, $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$, $y \neq 0$.

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$, используя свойство пропорции:

$$ 1 \cdot y = -3(x-2) $$

$$ y = -3x + 6 $$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$$ \frac{2}{(-3x + 6) - 1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{2} $$

$$ \frac{2}{-3x + 5} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{2} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(-3x+5)(x+1)$:

$$ \frac{2(x+1) + 3(-3x+5)}{(-3x+5)(x+1)} = \frac{5}{2} $$

$$ \frac{2x+2-9x+15}{-3x^2-3x+5x+5} = \frac{5}{2} $$

$$ \frac{-7x+17}{-3x^2+2x+5} = \frac{5}{2} $$

Используя свойство пропорции, получаем:

$$ 2(-7x+17) = 5(-3x^2+2x+5) $$

$$ -14x + 34 = -15x^2 + 10x + 25 $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ 15x^2 - 10x - 14x - 25 + 34 = 0 $$

$$ 15x^2 - 24x + 9 = 0 $$

Разделим обе части уравнения на 3:

$$ 5x^2 - 8x + 3 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(5)(3) = 64 - 60 = 4$.

Корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2(5)} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1 $$

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2(5)} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $$

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = -3x + 6$.

При $x_1 = 1$: $y_1 = -3(1) + 6 = 3$. Пара $(1; 3)$ удовлетворяет ОДЗ.

При $x_2 = \frac{3}{5}$: $y_2 = -3(\frac{3}{5}) + 6 = -\frac{9}{5} + \frac{30}{5} = \frac{21}{5}$. Пара $(\frac{3}{5}; \frac{21}{5})$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(1; 3)$, $(\frac{3}{5}; \frac{21}{5})$.