Номер 11.20, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.20, страница 118.

Условие.

11.20. Докажите, что значение выражения $\sqrt{23 - 8\sqrt{7}} + \sqrt{23 + 8\sqrt{7}}$ является целым числом.

Решение.

Для доказательства того, что значение выражения является целым числом, обозначим данное выражение через $x$:

$x = \sqrt{23 - 8\sqrt{7}} + \sqrt{23 + 8\sqrt{7}}$

Поскольку оба слагаемых являются положительными числами (так как $23 = \sqrt{529}$ и $8\sqrt{7} = \sqrt{64 \cdot 7} = \sqrt{448}$, подкоренные выражения положительны), то и их сумма $x$ также является положительным числом.

Возведем обе части равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 = (\sqrt{23 - 8\sqrt{7}} + \sqrt{23 + 8\sqrt{7}})^2$

$x^2 = (\sqrt{23 - 8\sqrt{7}})^2 + 2 \cdot \sqrt{23 - 8\sqrt{7}} \cdot \sqrt{23 + 8\sqrt{7}} + (\sqrt{23 + 8\sqrt{7}})^2$

Упростим полученное выражение. Первое и третье слагаемые равны подкоренным выражениям:

$x^2 = (23 - 8\sqrt{7}) + 2 \cdot \sqrt{(23 - 8\sqrt{7})(23 + 8\sqrt{7})} + (23 + 8\sqrt{7})$

Слагаемые $-8\sqrt{7}$ и $+8\sqrt{7}$ взаимно уничтожаются. Произведение под корнем можно упростить, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$x^2 = 23 + 23 + 2 \cdot \sqrt{23^2 - (8\sqrt{7})^2}$

Вычислим значение выражения под корнем:

$x^2 = 46 + 2 \cdot \sqrt{529 - (64 \cdot 7)}$

$x^2 = 46 + 2 \cdot \sqrt{529 - 448}$

$x^2 = 46 + 2 \cdot \sqrt{81}$

$x^2 = 46 + 2 \cdot 9$

$x^2 = 46 + 18$

$x^2 = 64$

Теперь найдем значение $x$. Так как $x^2 = 64$, то $x = \sqrt{64} = 8$ или $x = -\sqrt{64} = -8$.

Как мы установили в самом начале, $x$ - это сумма двух положительных корней, следовательно, $x$ — положительное число. Поэтому мы выбираем положительный корень:

$x = 8$

Значение выражения равно 8, что является целым числом. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: 8