Номер 11.13, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.13, страница 117.

Условие.

11.13. Определите, при каких значениях параметра $a$ система уравнений

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 2(1 + a), \\ (x + y)^2 = 14 \end{cases}$, имеет ровно два решения.

Решение.

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 2(1 + a) \\(x + y)^2 = 14 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $x + y = \sqrt{14}$ или $x + y = -\sqrt{14}$.

Преобразуем второе уравнение, используя формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Подставим в него первое уравнение системы:

$14 = (x^2 + y^2) + 2xy$

$14 = 2(1 + a) + 2xy$

$14 = 2 + 2a + 2xy$

$12 - 2a = 2xy$

$xy = 6 - a$

Теперь исходная система эквивалентна совокупности двух систем, в которых известны сумма и произведение переменных:

1) $\begin{cases} x + y = \sqrt{14} \\xy = 6 - a \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = -\sqrt{14} \\xy = 6 - a \end{cases}$

Каждая из этих систем решается с помощью теоремы Виета. Решениями $(x, y)$ являются пары корней соответствующего квадратного уравнения вида $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Для первой системы получаем уравнение:

$t^2 - \sqrt{14}t + (6 - a) = 0$

Количество решений этой системы зависит от дискриминанта $D_1$:

$D_1 = (-\sqrt{14})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6 - a) = 14 - 24 + 4a = 4a - 10$

• Если $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных корня $t_1$ и $t_2$. Это дает два решения для системы: $(t_1, t_2)$ и $(t_2, t_1)$.
• Если $D_1 = 0$, уравнение имеет один корень $t_1 = t_2$. Это дает одно решение для системы: $(t_1, t_1)$.
• Если $D_1 < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и система не имеет решений.

Для второй системы получаем уравнение:

$t^2 - (-\sqrt{14})t + (6 - a) = 0$

$t^2 + \sqrt{14}t + (6 - a) = 0$

Его дискриминант $D_2$:

$D_2 = (\sqrt{14})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6 - a) = 14 - 24 + 4a = 4a - 10$

Количество решений для второй системы также определяется знаком выражения $4a - 10$.

Общее число решений исходной системы равно сумме числа решений первой и второй систем. Нам нужно, чтобы это число было равно двум.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака дискриминанта $D = 4a - 10$:

1. Если $D > 0$, то есть $4a - 10 > 0 \implies a > 2.5$. В этом случае $D_1 > 0$ и $D_2 > 0$. Первая система имеет 2 решения, и вторая система имеет 2 решения. Общее число решений: $2 + 2 = 4$.

2. Если $D = 0$, то есть $4a - 10 = 0 \implies a = 2.5$. В этом случае $D_1 = 0$ и $D_2 = 0$. Первая система имеет 1 решение, и вторая система имеет 1 решение. Общее число решений: $1 + 1 = 2$. Это соответствует условию задачи.

3. Если $D < 0$, то есть $4a - 10 < 0 \implies a < 2.5$. В этом случае $D_1 < 0$ и $D_2 < 0$. Обе системы не имеют действительных решений. Общее число решений: $0 + 0 = 0$.

Таким образом, система имеет ровно два решения только при $a = 2.5$.

Ответ: $a = 2.5$.