Номер 11.7, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.7, страница 117.

Условие.

11.7. При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$$\begin{cases} (2a - 3)x - ay = 3a - 2, \\ 5x - (2a + 3)y = 5 \end{cases}$$

имеет единственное решение?

Решение.

Данная система является системой двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$\begin{cases}(2a - 3)x - ay = 3a - 2, \\5x - (2a + 3)y = 5\end{cases}$

Такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов при переменных не равен нулю.

Коэффициенты при переменных $x$ и $y$:

$A_1 = 2a - 3$, $B_1 = -a$

$A_2 = 5$, $B_2 = -(2a + 3)$

Определитель системы (Δ) вычисляется по формуле $Δ = A_1 B_2 - A_2 B_1$. Условие единственности решения: $Δ \neq 0$.

$Δ = (2a - 3) \cdot (-(2a + 3)) - 5 \cdot (-a) \neq 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-(2a - 3)(2a + 3) + 5a \neq 0$

Применяя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, получаем:

$-((2a)^2 - 3^2) + 5a \neq 0$

$-(4a^2 - 9) + 5a \neq 0$

$-4a^2 + 9 + 5a \neq 0$

$-4a^2 + 5a + 9 \neq 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знаки:

$4a^2 - 5a - 9 \neq 0$

Теперь найдем значения $a$, при которых левая часть равна нулю. Для этого решим квадратное уравнение $4a^2 - 5a - 9 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

$a_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

При $a = -1$ и $a = \frac{9}{4}$ определитель системы равен нулю, что означает, что система не имеет единственного решения (она либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений).

Следовательно, система имеет единственное решение при всех остальных значениях параметра $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (-1; \frac{9}{4}) \cup (\frac{9}{4}; +\infty)$, или $a \neq -1$ и $a \neq \frac{9}{4}$.