Вопросы?, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - страница 116.

Условие.

1. Опишите, в чём состоит графический метод решения систем уравнений.

2. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

Решение.

1. Графический метод решения систем уравнений заключается в построении графиков для каждого уравнения, входящего в систему, в одной и той же системе координат. Решением системы уравнений является набор значений переменных, который удовлетворяет одновременно всем уравнениям системы. С геометрической точки зрения, решение — это координаты общих точек для всех графиков уравнений системы.

Алгоритм решения системы уравнений графическим методом:
1. Построить в одной координатной плоскости график каждого уравнения системы.
2. Найти координаты точек пересечения построенных графиков.
3. Координаты каждой точки пересечения являются одним из решений системы уравнений.

Если графики не пересекаются, то система не имеет решений. Если графики совпадают, то система имеет бесконечное множество решений. Основным недостатком данного метода является невысокая точность, поскольку координаты точек пересечения, особенно если они нецелочисленные, определяются на графике приблизительно.

Ответ: Графический метод состоит в построении графиков всех уравнений системы в одной системе координат и нахождении координат точек их пересечения.

2. Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ описывает две прямые на координатной плоскости. Количество решений такой системы зависит от взаимного расположения этих прямых. Возможны три случая:

1. Прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда у прямых разные угловые коэффициенты. Система в этом случае имеет одно-единственное решение. Аналитически это соответствует условию: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

2. Прямые параллельны и не совпадают. У таких прямых одинаковые угловые коэффициенты, но разные смещения по оси $y$. Общих точек у них нет, следовательно, система не имеет решений. Аналитически это соответствует условию: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

3. Прямые совпадают. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Каждая точка этой прямой является решением, поэтому система имеет бесконечно много решений. Аналитически это соответствует условию: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

Ответ: Система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.