Номер 10.28, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.28, страница 113.

Условие.

10.28. Найдите наименьшее значение выражения $|x| + |y|$, если

$x^2 + (y - 4)^2 = 1$

Решение.

Требуется найти наименьшее значение выражения $|x| + |y|$ при условии, что переменные $x$ и $y$ удовлетворяют уравнению $x^2 + (y-4)^2 = 1$.

Уравнение $x^2 + (y-4)^2 = 1$ является уравнением окружности с центром в точке $C(0, 4)$ и радиусом $R=1$.

Для любой точки $(x, y)$ на этой окружности ее координата $y$ находится в диапазоне от $4-R$ до $4+R$, то есть $3 \le y \le 5$. Поскольку $y$ всегда положительна, $|y| = y$. Таким образом, выражение, которое мы минимизируем, упрощается до $|x| + y$.

Рассмотрим два способа решения задачи.

Способ 1. Геометрический

Пусть $k = |x| + y$. Мы ищем наименьшее возможное значение $k$. Уравнение $|x| + y = k$ задает на плоскости фигуру, состоящую из двух лучей: $y = k - x$ для $x \ge 0$ и $y = k + x$ для $x < 0$. Эти лучи образуют "угол", симметричный относительно оси $Oy$, с вершиной в точке $(0, k)$.

Задача сводится к поиску наименьшего значения $k$, при котором "угол" $|x| + y = k$ имеет хотя бы одну общую точку с окружностью $x^2 + (y-4)^2 = 1$.

Окружность с центром в $(0, 4)$ и радиусом 1 расположена в верхней полуплоскости. Ее самая нижняя точка имеет координаты $(0, 3)$.

При уменьшении параметра $k$ вершина "угла" $(0, k)$ смещается вниз вдоль оси $Oy$. Первое касание (и, следовательно, наименьшее значение $k$) произойдет, когда вершина "угла" достигнет самой нижней точки окружности. Это точка $(0, 3)$.

Подставив координаты этой точки в выражение, найдем минимальное значение $k$: $k_{min} = |0| + 3 = 3$.

Способ 2. Алгебраический

Как было установлено, $y \in [3, 5]$, поэтому $|y|=y$. Выражение для минимизации: $S = |x| + y$.

Из уравнения окружности $x^2 + (y-4)^2 = 1$ выразим $|x|$: $x^2 = 1 - (y-4)^2 \implies |x| = \sqrt{1 - (y-4)^2}$.

Подставим это в выражение для $S$. Получим функцию одной переменной $y$: $S(y) = y + \sqrt{1 - (y-4)^2}$, определенную на отрезке $y \in [3, 5]$.

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке, нужно найти ее значения в критических точках и на концах отрезка. Производная $S'(y)$ не существует на концах отрезка ($y=3$ и $y=5$), так как подкоренное выражение в знаменателе производной обращается в ноль.

Найдем производную для $y \in (3, 5)$: $S'(y) = (y + \sqrt{1 - (y-4)^2})' = 1 + \frac{-2(y-4)}{2\sqrt{1-(y-4)^2}} = 1 - \frac{y-4}{\sqrt{1-(y-4)^2}}$.

Приравняем производную к нулю для поиска стационарных точек: $1 - \frac{y-4}{\sqrt{1-(y-4)^2}} = 0 \implies \sqrt{1-(y-4)^2} = y-4$.

Это уравнение имеет решение только при $y-4 \ge 0$, то есть $y \ge 4$. Возведем обе части в квадрат: $1 - (y-4)^2 = (y-4)^2 \implies 1 = 2(y-4)^2 \implies (y-4)^2 = \frac{1}{2}$.

Отсюда $y-4 = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (берем положительный корень, так как $y \ge 4$). Критическая точка: $y = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь сравним значения функции $S(y)$ в этой критической точке и на концах отрезка $[3, 5]$:

• При $y=3$: $S(3) = 3 + \sqrt{1 - (3-4)^2} = 3 + \sqrt{1 - 1} = 3 + 0 = 3$.
• При $y=5$: $S(5) = 5 + \sqrt{1 - (5-4)^2} = 5 + \sqrt{1 - 1} = 5 + 0 = 5$.
• При $y=4 + \frac{\sqrt{2}}{2}$: $S(4 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = (4 + \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 + \sqrt{2}$.

Сравнивая значения $3$, $5$ и $4 + \sqrt{2} \approx 5.414$, заключаем, что наименьшее значение функции равно 3. Это значение достигается в точке $(0, 3)$.

Ответ: 3