Номер 10.23, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.23, страница 112.

Условие.

10.23. Постройте график уравнения $(x^4 + 1)(y^4 + 1) = 4x^2y^2$.

Решение.

Дано уравнение $(x^4 + 1)(y^4 + 1) = 4x^2y^2$.

Преобразуем его. Сначала заметим, что ни $x$, ни $y$ не могут быть равны нулю. Если $x=0$, то левая часть уравнения становится $y^4+1$, что всегда больше 0, а правая часть обращается в 0. Равенство $y^4+1=0$ не имеет решений в действительных числах. Аналогичная ситуация при $y=0$.

Поскольку $x \neq 0$ и $y \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x^2y^2$ без потери корней:

$\frac{(x^4 + 1)(y^4 + 1)}{x^2y^2} = \frac{4x^2y^2}{x^2y^2}$

Разделим каждый из множителей в левой части на соответствующую переменную в знаменателе:

$\frac{x^4 + 1}{x^2} \cdot \frac{y^4 + 1}{y^2} = 4$

$(x^2 + \frac{1}{x^2})(y^2 + \frac{1}{y^2}) = 4$

Рассмотрим выражение вида $a + \frac{1}{a}$ для любого положительного числа $a$. По неравенству о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши):

$a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $a = \frac{1}{a}$, то есть $a=1$.

Так как $x^2$ и $y^2$ являются положительными числами (поскольку $x \neq 0$ и $y \neq 0$), мы можем применить это неравенство к каждому из сомножителей в левой части преобразованного уравнения:

$x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$

$y^2 + \frac{1}{y^2} \ge 2$

Следовательно, произведение этих двух выражений всегда будет не меньше, чем $2 \cdot 2 = 4$:

$(x^2 + \frac{1}{x^2})(y^2 + \frac{1}{y^2}) \ge 4$

В нашем уравнении это произведение равно 4. Такое возможно только в том случае, когда оба множителя одновременно принимают свои минимальные значения, то есть равны 2. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 \\ y^2 + \frac{1}{y^2} = 2 \end{cases}$

Решим первое уравнение относительно $x$. Умножим обе части на $x^2$:

$x^4 + 1 = 2x^2$

$x^4 - 2x^2 + 1 = 0$

$(x^2 - 1)^2 = 0$

$x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем $x=1$ или $x=-1$.

Аналогично, решая второе уравнение $y^2 + \frac{1}{y^2} = 2$, получаем $y^2=1$, что дает $y=1$ или $y=-1$.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются все возможные комбинации значений $x$ и $y$ из множеств $\{-1, 1\}$. Это дает нам четыре точки на координатной плоскости:

(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1).

График данного уравнения представляет собой эти четыре изолированные точки.

Ответ: График уравнения состоит из четырех точек: $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$ и $(-1, -1)$.