Номер 10.19, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.19, страница 112.

Условие.

10.19. Определите количество корней уравнения $(x^2 + a^2 - 1)(a - x) = 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

Исходное уравнение $(x^2 + a^2 - 1)(a - x) = 0$ эквивалентно совокупности уравнений:

$\begin{cases}x^2 + a^2 - 1 = 0 \\a - x = 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x^2 = 1 - a^2 \\x = a\end{cases}$

Общее количество корней равно числу различных решений этой совокупности. Проанализируем количество корней в зависимости от значения параметра $a$, разбив решение на случаи по количеству корней.

Один корень

Уравнение будет иметь один корень, если уравнение $x^2 = 1 - a^2$ не будет иметь действительных корней. Это происходит, когда его правая часть строго отрицательна:

$1 - a^2 < 0 \implies a^2 > 1 \implies |a| > 1$.

В этом случае единственным корнем исходного уравнения будет корень второго уравнения совокупности, $x=a$.

Ответ: при $a \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$ уравнение имеет 1 корень.

Два корня

Уравнение будет иметь два различных корня в двух ситуациях:

1. Уравнение $x^2 = 1-a^2$ имеет один корень (т.е. $x=0$), и этот корень не совпадает с корнем $x=a$.

Условие одного корня для $x^2=1-a^2$ выполняется при $1-a^2 = 0$, то есть при $a = \pm 1$.

• При $a=1$, корни совокупности: $x=0$ и $x=1$. Это два различных корня.
• При $a=-1$, корни совокупности: $x=0$ и $x=-1$. Это также два различных корня.

2. Уравнение $x^2 = 1-a^2$ имеет два различных корня ($x=\pm\sqrt{1-a^2}$), но один из них совпадает с корнем $x=a$.

Это происходит, когда $a = \sqrt{1-a^2}$ или $a = -\sqrt{1-a^2}$. Возведя в квадрат обе части в обоих случаях, получим $a^2 = 1-a^2$, откуда $2a^2=1$ и $a^2=1/2$.

Следовательно, $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Проверим эти значения:

• При $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, корни $x=\pm\sqrt{1-1/2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x=a=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Различные корни: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Всего два корня.
• При $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, корни $x=\pm\sqrt{1-1/2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x=a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Различные корни: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Всего два корня.

Объединяя обе ситуации, получаем четыре значения параметра.

Ответ: при $a \in \{-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}; 1\}$ уравнение имеет 2 корня.

Три корня

Уравнение будет иметь три различных корня, если уравнение $x^2 = 1-a^2$ имеет два различных корня, и ни один из них не совпадает с корнем $x=a$.

Это требует выполнения двух условий:

1. Уравнение $x^2 = 1-a^2$ имеет два различных корня, то есть $1-a^2 > 0 \implies a^2 < 1 \implies |a| < 1$.

2. Корень $x=a$ не должен совпадать с корнями $x=\pm\sqrt{1-a^2}$. Как мы выяснили в предыдущем пункте, совпадение происходит при $a = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Значит, это условие можно записать как $a \neq \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Объединяя оба условия, получаем, что три корня существуют при $|a| < 1$ и $a \neq \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: при $a \in (-1; -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}; 1)$ уравнение имеет 3 корня.