Номер 10.13, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.13, страница 112.

Условие.

10.13. Постройте график уравнения:

1) $|x| + |y| = 2;$

2) $|x - 1| + |y| = 2;$

3) $|x - 1| + |y + 2| = 2;$

4) $|2x - 1| + |y + 2| = 2.$

Решение.

1) $|x| + |y| = 2$

Для построения графика раскроем модули. Так как уравнение содержит $|x|$ и $|y|$, его график будет симметричен относительно обеих осей координат и начала координат. Поэтому достаточно построить график для первой координатной четверти ($x \ge 0, y \ge 0$) и затем отразить его симметрично относительно осей.

При $x \ge 0$ и $y \ge 0$ уравнение принимает вид $x + y = 2$, или $y = 2 - x$. Это уравнение прямой. В первой четверти это будет отрезок, соединяющий точки пересечения с осями: $(2, 0)$ и $(0, 2)$.

Отражая этот отрезок симметрично относительно оси $Oy$, получаем отрезок, соединяющий точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.
Отражая исходный отрезок симметрично относительно оси $Ox$, получаем отрезок, соединяющий точки $(2, 0)$ и $(0, -2)$.
Наконец, отражая отрезок из второй четверти относительно оси $Ox$, получаем отрезок, соединяющий точки $(-2, 0)$ и $(0, -2)$.

В результате получаем замкнутую фигуру — квадрат, вершины которого лежат на осях координат.

Ответ: Графиком уравнения является квадрат с вершинами в точках $(2, 0)$, $(0, 2)$, $(-2, 0)$, $(0, -2)$.

2) $|x - 1| + |y| = 2$

Этот график можно получить из графика уравнения $|x| + |y| = 2$ с помощью преобразований. Сделаем замену переменных: пусть $X = x - 1$, $Y = y$. Тогда уравнение примет вид $|X| + |Y| = 2$.

Графиком этого уравнения в системе координат $XOY$ является квадрат с вершинами в точках $(2, 0)$, $(0, 2)$, $(-2, 0)$, $(0, -2)$, как мы выяснили в предыдущем пункте.

Чтобы вернуться к исходным координатам $x$ и $y$, используем обратную замену: $x = X + 1$, $y = Y$. Это означает, что каждая точка графика $|X| + |Y| = 2$ сдвигается на 1 единицу вправо по оси $Ox$. Таким образом, мы осуществляем параллельный перенос исходного квадрата.

Найдем новые координаты вершин:
$(2, 0) \rightarrow (2+1, 0) = (3, 0)$
$(0, 2) \rightarrow (0+1, 2) = (1, 2)$
$(-2, 0) \rightarrow (-2+1, 0) = (-1, 0)$
$(0, -2) \rightarrow (0+1, -2) = (1, -2)$

Ответ: Графиком уравнения является квадрат с вершинами в точках $(3, 0)$, $(1, 2)$, $(-1, 0)$, $(1, -2)$.

3) $|x - 1| + |y + 2| = 2$

Аналогично предыдущему пункту, используем метод замены переменных. Пусть $X = x - 1$, $Y = y + 2$. Уравнение преобразуется к виду $|X| + |Y| = 2$.

Графиком этого уравнения в системе координат $XOY$ является квадрат с вершинами в точках $(2, 0)$, $(0, 2)$, $(-2, 0)$, $(0, -2)$.

Выполним обратную замену: $x = X + 1$, $y = Y - 2$. Это преобразование соответствует параллельному переносу графика $|x| + |y| = 2$ на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и на 2 единицы вниз по оси $Oy$. Центр квадрата смещается из точки $(0,0)$ в точку $(1, -2)$.

Найдем новые координаты вершин:
$(2, 0) \rightarrow (2+1, 0-2) = (3, -2)$
$(0, 2) \rightarrow (0+1, 2-2) = (1, 0)$
$(-2, 0) \rightarrow (-2+1, 0-2) = (-1, -2)$
$(0, -2) \rightarrow (0+1, -2-2) = (1, -4)$

Ответ: Графиком уравнения является квадрат с вершинами в точках $(3, -2)$, $(1, 0)$, $(-1, -2)$, $(1, -4)$.

4) $|2x - 1| + |y + 2| = 2$

Используем тот же метод. Пусть $X = 2x - 1$, $Y = y + 2$. Уравнение принимает вид $|X| + |Y| = 2$, графиком которого в системе $XOY$ является квадрат с вершинами $(2, 0)$, $(0, 2)$, $(-2, 0)$, $(0, -2)$.

Теперь вернемся к координатам $x$ и $y$. Из замены имеем: $2x = X + 1 \Rightarrow x = \frac{X+1}{2}$ и $y = Y - 2$. Это преобразование включает в себя сжатие по оси $Ox$ в 2 раза и параллельные переносы. Найдем координаты вершин получившейся фигуры в системе $xOy$.

Найдем новые координаты вершин:
При $(X, Y) = (2, 0): x = \frac{2+1}{2} = 1.5, y = 0-2 = -2 \rightarrow (1.5, -2)$
При $(X, Y) = (0, 2): x = \frac{0+1}{2} = 0.5, y = 2-2 = 0 \rightarrow (0.5, 0)$
При $(X, Y) = (-2, 0): x = \frac{-2+1}{2} = -0.5, y = 0-2 = -2 \rightarrow (-0.5, -2)$
При $(X, Y) = (0, -2): x = \frac{0+1}{2} = 0.5, y = -2-2 = -4 \rightarrow (0.5, -4)$

Полученная фигура является ромбом, так как ее диагонали, соединяющие точки $(1.5, -2)$ и $(-0.5, -2)$, а также $(0.5, 0)$ и $(0.5, -4)$, взаимно перпендикулярны.

Ответ: Графиком уравнения является ромб с вершинами в точках $(1.5, -2)$, $(0.5, 0)$, $(-0.5, -2)$, $(0.5, -4)$.