Номер 10.6, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.6, страница 111.

Условие.

10.6. Постройте график уравнения:

1) $|y - 1| = x$;

2) $|y + 1| = x + 3$;

3) $|x - 3y| = 2$;

4) $(x - 4)^2 = (y + 1)^2$;

5) $xy = |y|$;

6) $|x|y = -6$.

Решение.

1) $|y - 1| = x$

По определению модуля, левая часть уравнения $|y-1|$ всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной, то есть $x \ge 0$. Это область допустимых значений для $x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

а) Если $y - 1 \ge 0$, то есть $y \ge 1$. В этом случае уравнение принимает вид $y - 1 = x$, откуда $y = x + 1$. Это уравнение прямой. Учитывая условие $y \ge 1$, получаем $x + 1 \ge 1$, что означает $x \ge 0$. Таким образом, первая часть графика - это луч прямой $y = x + 1$, начинающийся в точке $(0, 1)$ и проходящий через точку $(1, 2)$.

б) Если $y - 1 < 0$, то есть $y < 1$. В этом случае уравнение принимает вид $-(y - 1) = x$, откуда $-y + 1 = x$, или $y = 1 - x$. Это также уравнение прямой. Учитывая условие $y < 1$, получаем $1 - x < 1$, что означает $-x < 0$, или $x > 0$. В сочетании с ОДЗ ($x \ge 0$) получаем $x \ge 0$. Таким образом, вторая часть графика - это луч прямой $y = 1 - x$, начинающийся в той же точке $(0, 1)$ и проходящий через точку $(1, 0)$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух лучей, исходящих из точки $(0, 1)$: луча $y = x + 1$ для $x \ge 0$ и луча $y = 1 - x$ для $x \ge 0$.

2) $|y + 1| = x + 3$

Так как левая часть уравнения неотрицательна, то $x + 3 \ge 0$, откуда $x \ge -3$. График будет расположен в полуплоскости справа от прямой $x = -3$.

Раскроем модуль:

а) Если $y + 1 \ge 0$, то есть $y \ge -1$. Уравнение принимает вид $y + 1 = x + 3$, откуда $y = x + 2$. Это луч прямой, начинающийся в точке, где $x = -3$. При $x = -3$, $y = -3 + 2 = -1$. Начало луча в точке $(-3, -1)$.

б) Если $y + 1 < 0$, то есть $y < -1$. Уравнение принимает вид $-(y + 1) = x + 3$, откуда $-y - 1 = x + 3$, или $y = -x - 4$. Это луч прямой, также начинающийся в точке, где $x = -3$. При $x = -3$, $y = -(-3) - 4 = 3 - 4 = -1$. Начало луча в точке $(-3, -1)$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух лучей, исходящих из точки $(-3, -1)$: луча $y = x + 2$ при $x \ge -3$ и луча $y = -x - 4$ при $x \ge -3$.

3) $|x - 3y| = 2$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

а) $x - 3y = 2$. Выразим $y$ через $x$: $3y = x - 2 \implies y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$. Это уравнение прямой.

б) $x - 3y = -2$. Выразим $y$ через $x$: $3y = x + 2 \implies y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$. Это также уравнение прямой.

Обе прямые имеют одинаковый угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$, следовательно, они параллельны.

Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых: $y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$ и $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$.

4) $(x - 4)^2 = (y + 1)^2$

Это уравнение можно преобразовать, извлекая квадратный корень из обеих частей: $\sqrt{(x - 4)^2} = \sqrt{(y + 1)^2}$, что равносильно $|x - 4| = |y + 1|$.

Это уравнение распадается на два случая:

а) $x - 4 = y + 1$. Отсюда $y = x - 5$. Это прямая.

б) $x - 4 = -(y + 1)$. Отсюда $x - 4 = -y - 1$, что приводит к $y = -x + 3$. Это прямая.

Графиком является пара пересекающихся прямых. Найдем их точку пересечения, приравняв правые части: $x - 5 = -x + 3 \implies 2x = 8 \implies x = 4$. Подставив $x=4$ в любое из уравнений, найдем $y$: $y = 4 - 5 = -1$. Точка пересечения — $(4, -1)$.

Ответ: Графиком уравнения является пара прямых $y = x - 5$ и $y = -x + 3$, пересекающихся в точке $(4, -1)$.

5) $xy = |y|$

Рассмотрим три случая в зависимости от знака $y$:

а) Если $y > 0$. Уравнение принимает вид $xy = y$. Так как $y \neq 0$, можно разделить обе части на $y$, получив $x = 1$. Таким образом, для всех $y > 0$ решением является прямая $x=1$. Это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ (не включая ее) и направленный вертикально вверх.

б) Если $y < 0$. Уравнение принимает вид $xy = -y$. Так как $y \neq 0$, делим на $y$: $x = -1$. Таким образом, для всех $y < 0$ решением является прямая $x=-1$. Это луч, выходящий из точки $(-1, 0)$ (не включая ее) и направленный вертикально вниз.

в) Если $y = 0$. Уравнение принимает вид $x \cdot 0 = |0|$, то есть $0 = 0$. Это верное равенство при любом значении $x$. Следовательно, вся ось абсцисс ($y=0$) является решением.

Ответ: Графиком уравнения является объединение оси абсцисс ($y=0$), луча $x=1$ для $y > 0$ и луча $x=-1$ для $y < 0$.

6) $|x|y = -6$

Из уравнения следует, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Так как $|x| \ge 0$ (в данном случае $|x|>0$), а произведение $|x|y$ равно отрицательному числу -6, то $y$ должен быть отрицательным, т.е. $y < 0$. График будет расположен в III и IV координатных четвертях.

Раскроем модуль $x$:

а) Если $x > 0$. Уравнение принимает вид $xy = -6$, откуда $y = -\frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в IV координатной четверти (так как $x > 0$ и $y < 0$).

б) Если $x < 0$. Уравнение принимает вид $-xy = -6$, откуда $xy = 6$, или $y = \frac{6}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в III координатной четверти (так как $x < 0$ и $y < 0$).

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух ветвей гипербол: ветви $y = -\frac{6}{x}$ при $x>0$ и ветви $y = \frac{6}{x}$ при $x<0$.