Вопросы?, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - страница 110.

Условие.

Как, используя график уравнения $F(x; y) = 0$, построить графики уравнений: $F(x + a; y) = 0$; $F(x; y + b) = 0$; $F(-x; y) = 0$; $F(x; -y) = 0$; $F(kx; y) = 0$, где $k > 0$; $F(x; ky) = 0$, где $k > 0$; $F(|x|; y) = 0$; $F(x; |y|) = 0$?

Решение.

Пусть дан график уравнения $F(x; y) = 0$. Это означает, что все точки $(x_0; y_0)$, принадлежащие этому графику, удовлетворяют равенству $F(x_0; y_0) = 0$. Рассмотрим, как из этого графика получить графики других уравнений.

F(x + a; y) = 0
Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $F(x + a; y) = 0$. Это значит, что $F(x_1 + a; y_1) = 0$. Сравнивая это с исходным условием $F(x_0; y_0) = 0$, получаем, что $x_1 + a = x_0$ и $y_1 = y_0$. Отсюда $x_1 = x_0 - a$ и $y_1 = y_0$. Это означает, что каждая точка $(x_0; y_0)$ исходного графика смещается в точку $(x_0 - a; y_0)$, чтобы оказаться на новом графике. Такое преобразование является параллельным переносом вдоль оси абсцисс. Если $a > 0$, перенос происходит влево на $a$ единиц. Если $a < 0$, перенос происходит вправо на $|a|$ единиц.
Ответ: График уравнения $F(x + a; y) = 0$ получается из графика уравнения $F(x; y) = 0$ параллельным переносом вдоль оси $Ox$ на $a$ единиц влево (если $a > 0$) или на $|a|$ единиц вправо (если $a < 0$).

F(x; y + b) = 0
Аналогично предыдущему пункту. Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $F(x; y + b) = 0$. Это значит, что $F(x_1; y_1 + b) = 0$. Сравнивая с $F(x_0; y_0) = 0$, получаем $x_1 = x_0$ и $y_1 + b = y_0$. Отсюда $x_1 = x_0$ и $y_1 = y_0 - b$. Каждая точка $(x_0; y_0)$ исходного графика смещается в точку $(x_0; y_0 - b)$. Это параллельный перенос вдоль оси ординат. Если $b > 0$, перенос происходит вниз на $b$ единиц. Если $b < 0$, перенос происходит вверх на $|b|$ единиц.
Ответ: График уравнения $F(x; y + b) = 0$ получается из графика уравнения $F(x; y) = 0$ параллельным переносом вдоль оси $Oy$ на $b$ единиц вниз (если $b > 0$) или на $|b|$ единиц вверх (если $b < 0$).

F(-x; y) = 0
Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $F(-x; y) = 0$. Это значит, что $F(-x_1; y_1) = 0$. Сравнивая с $F(x_0; y_0) = 0$, получаем $-x_1 = x_0$ и $y_1 = y_0$. Отсюда $x_1 = -x_0$ и $y_1 = y_0$. Каждая точка $(x_0; y_0)$ исходного графика переходит в точку $(-x_0; y_0)$. Это преобразование является симметричным отражением относительно оси ординат ($Oy$).
Ответ: График уравнения $F(-x; y) = 0$ получается из графика уравнения $F(x; y) = 0$ симметричным отражением относительно оси $Oy$.

F(x; -y) = 0
Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $F(x; -y) = 0$. Это значит, что $F(x_1; -y_1) = 0$. Сравнивая с $F(x_0; y_0) = 0$, получаем $x_1 = x_0$ и $-y_1 = y_0$. Отсюда $x_1 = x_0$ и $y_1 = -y_0$. Каждая точка $(x_0; y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0; -y_0)$. Это преобразование является симметричным отражением относительно оси абсцисс ($Ox$).
Ответ: График уравнения $F(x; -y) = 0$ получается из графика уравнения $F(x; y) = 0$ симметричным отражением относительно оси $Ox$.

F(kx; y) = 0, где k > 0
Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $F(kx; y) = 0$. Это значит, что $F(kx_1; y_1) = 0$. Сравнивая с $F(x_0; y_0) = 0$, получаем $kx_1 = x_0$ и $y_1 = y_0$. Отсюда $x_1 = x_0/k$ и $y_1 = y_0$. Каждая точка $(x_0; y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0/k; y_0)$. Это преобразование является сжатием или растяжением графика вдоль оси абсцисс. Если $k > 1$, происходит сжатие графика к оси $Oy$ в $k$ раз. Если $0 < k < 1$, происходит растяжение графика от оси $Oy$ в $1/k$ раз.
Ответ: График уравнения $F(kx; y) = 0$ при $k > 0$ получается из графика уравнения $F(x; y) = 0$ сжатием к оси $Oy$ в $k$ раз (если $k > 1$) или растяжением от оси $Oy$ в $1/k$ раз (если $0 < k < 1$).

F(x; ky) = 0, где k > 0
Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $F(x; ky) = 0$. Это значит, что $F(x_1; ky_1) = 0$. Сравнивая с $F(x_0; y_0) = 0$, получаем $x_1 = x_0$ и $ky_1 = y_0$. Отсюда $x_1 = x_0$ и $y_1 = y_0/k$. Каждая точка $(x_0; y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0; y_0/k)$. Это преобразование является сжатием или растяжением графика вдоль оси ординат. Если $k > 1$, происходит сжатие графика к оси $Ox$ в $k$ раз. Если $0 < k < 1$, происходит растяжение графика от оси $Ox$ в $1/k$ раз.
Ответ: График уравнения $F(x; ky) = 0$ при $k > 0$ получается из графика уравнения $F(x; y) = 0$ сжатием к оси $Ox$ в $k$ раз (если $k > 1$) или растяжением от оси $Ox$ в $1/k$ раз (если $0 < k < 1$).

F(|x|; y) = 0
Рассмотрим два случая. 1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение принимает вид $F(x; y) = 0$. Следовательно, для $x \ge 0$ (в правой полуплоскости и на оси $Oy$) график уравнения $F(|x|; y) = 0$ совпадает с графиком исходного уравнения $F(x; y) = 0$. 2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $F(-x; y) = 0$. Этот график, как мы выяснили ранее, симметричен графику $F(x; y) = 0$ относительно оси $Oy$. Таким образом, чтобы построить график, нужно часть исходного графика, лежащую в правой полуплоскости ($x \ge 0$), оставить без изменений, а часть, лежащую в левой полуплоскости ($x < 0$), удалить. Затем оставленную часть симметрично отразить относительно оси $Oy$ в левую полуплоскость.
Ответ: Для построения графика $F(|x|; y) = 0$ нужно: 1) сохранить ту часть графика $F(x; y) = 0$, для которой $x \ge 0$; 2) удалить часть графика, для которой $x < 0$; 3) отразить сохраненную часть симметрично относительно оси $Oy$.

F(x; |y|) = 0
Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. 1. Если $y \ge 0$, то $|y| = y$, и уравнение принимает вид $F(x; y) = 0$. Следовательно, для $y \ge 0$ (в верхней полуплоскости и на оси $Ox$) график уравнения $F(x; |y|) = 0$ совпадает с графиком исходного уравнения $F(x; y) = 0$. 2. Если $y < 0$, то $|y| = -y$, и уравнение принимает вид $F(x; -y) = 0$. Этот график симметричен графику $F(x; y) = 0$ относительно оси $Ox$. Таким образом, чтобы построить график, нужно часть исходного графика, лежащую в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), оставить без изменений, а часть, лежащую в нижней полуплоскости ($y < 0$), удалить. Затем оставленную часть симметрично отразить относительно оси $Ox$ в нижнюю полуплоскость.
Ответ: Для построения графика $F(x; |y|) = 0$ нужно: 1) сохранить ту часть графика $F(x; y) = 0$, для которой $y \ge 0$; 2) удалить часть графика, для которой $y < 0$; 3) отразить сохраненную часть симметрично относительно оси $Ox$.