Номер 9.34, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.34, страница 98.

Условие.

9.34. Упростите выражение $\sqrt{2a-4+2\sqrt{a^2-4a+3}} - \sqrt{a-1}$.

Решение.

Для упрощения данного выражения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) и преобразовать подкоренное выражение в полный квадрат.

1. Найдем ОДЗ.

Выражение имеет смысл, когда все подкоренные выражения неотрицательны:

1) $a - 1 \ge 0 \Rightarrow a \ge 1$

2) $a^2 - 4a + 3 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 4a + 3 = 0$. По теореме Виета, $a_1 = 1$, $a_2 = 3$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $a \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.

3) $2a - 4 + 2\sqrt{a^2 - 4a + 3} \ge 0$.

Объединяя условия 1 и 2, получаем, что $a=1$ или $a \ge 3$.

Если $a=1$, исходное выражение равно $\sqrt{2(1) - 4 + 2\sqrt{1-4+3}} - \sqrt{1-1} = \sqrt{-2 + 2\sqrt{0}} - 0 = \sqrt{-2}$, что не имеет смысла в действительных числах.

Следовательно, ОДЗ для данного выражения: $a \ge 3$. При $a \ge 3$ все подкоренные выражения, включая и третье, будут неотрицательны.

2. Упростим выражение.

Рассмотрим выражение под большим корнем: $2a - 4 + 2\sqrt{a^2 - 4a + 3}$.

Мы будем использовать формулу сложного радикала: $\sqrt{X \pm 2\sqrt{Y}} = \sqrt{\frac{X+\sqrt{X^2-4Y}}{2}} \pm \sqrt{\frac{X-\sqrt{X^2-4Y}}{2}}$, или попытаемся выделить полный квадрат вида $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}$.

Представим выражение $a^2 - 4a + 3$ в виде произведения: $a^2 - 4a + 3 = (a-1)(a-3)$.

Тогда выражение под большим корнем примет вид: $2a - 4 + 2\sqrt{(a-1)(a-3)}$.

Представим $2a-4$ как сумму $(a-1) + (a-3)$.

Получаем: $(a-1) + (a-3) + 2\sqrt{a-1}\sqrt{a-3}$.

Это выражение является полным квадратом суммы: $(\sqrt{a-1} + \sqrt{a-3})^2$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{(\sqrt{a-1} + \sqrt{a-3})^2} - \sqrt{a-1}$

Используя свойство $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем:

$|\sqrt{a-1} + \sqrt{a-3}| - \sqrt{a-1}$

Так как по ОДЗ $a \ge 3$, то $\sqrt{a-1} \ge \sqrt{2} > 0$ и $\sqrt{a-3} \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел неотрицательна, поэтому модуль можно убрать:

$\sqrt{a-1} + \sqrt{a-3} - \sqrt{a-1}$

Сокращаем $\sqrt{a-1}$ и $-\sqrt{a-1}$:

$\sqrt{a-3}$

Ответ: $\sqrt{a-3}$