Номер 9.31, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.31, страница 98.

Условие.

9.31. Решите уравнение $2\{x\} - \{x\}[x] = x - 5$.

Решение.

Обозначим целую часть числа $x$ как $[x]$ и дробную часть как $\{x\}$. Любое действительное число $x$ можно представить в виде суммы его целой и дробной частей: $x = [x] + \{x\}$, где $[x]$ является целым числом, а для дробной части выполняется условие $0 \le \{x\} < 1$.

Подставим представление $x$ через его целую и дробную части в исходное уравнение:

$2\{x\} - \{x\}[x] = ([x] + \{x\}) - 5$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\{x\}$, в левой части уравнения, а остальные перенесем в правую:

$2\{x\} - \{x\} - \{x\}[x] = [x] - 5$

Вынесем $\{x\}$ за скобки:

$\{x\}(2 - 1 - [x]) = [x] - 5$

$\{x\}(1 - [x]) = [x] - 5$

Рассмотрим случай, когда множитель при $\{x\}$ равен нулю, то есть $1 - [x] = 0$, откуда $[x] = 1$. В этом случае левая часть уравнения равна $0$, а правая часть равна $1 - 5 = -4$. Равенство $0 = -4$ является неверным, следовательно, случай $[x] = 1$ невозможен.

Поскольку $1 - [x] \ne 0$, мы можем выразить $\{x\}$:

$\{x\} = \frac{[x] - 5}{1 - [x]}$

Теперь воспользуемся свойством дробной части $0 \le \{x\} < 1$. Подставим в это двойное неравенство полученное выражение для $\{x\}$:

$0 \le \frac{[x] - 5}{1 - [x]} < 1$

Обозначим для удобства $[x] = n$, где $n$ - целое число ($n \ne 1$), и решим получившуюся систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{n - 5}{1 - n} \ge 0 \\ \frac{n - 5}{1 - n} < 1 \end{cases}$

Решим первое неравенство $\frac{n - 5}{1 - n} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $n=5$ и $n=1$. Эти точки делят числовую ось на интервалы. Данное неравенство выполняется для $n \in (1, 5]$.

Решим второе неравенство $\frac{n - 5}{1 - n} < 1$. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{n - 5 - (1 - n)}{1 - n} < 0 \implies \frac{2n - 6}{1 - n} < 0 \implies \frac{n - 3}{1 - n} < 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется для $n \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Теперь нам нужно найти целые значения $n$, которые удовлетворяют обоим условиям: $n \in (1, 5]$ и $n \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$. Из первого условия следует, что $n$ может быть $2, 3, 4, 5$. Из второго условия, учитывая, что $n \in \{2, 3, 4, 5\}$, подходят только $n=4$ и $n=5$.

Осталось найти значения $x$ для каждого из найденных значений $[x]=n$.

1. Если $[x] = 4$, то дробная часть равна $\{x\} = \frac{4 - 5}{1 - 4} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$. Тогда $x = [x] + \{x\} = 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}$.

2. Если $[x] = 5$, то дробная часть равна $\{x\} = \frac{5 - 5}{1 - 5} = \frac{0}{-4} = 0$. Тогда $x = [x] + \{x\} = 5 + 0 = 5$.

Проверка подтверждает, что оба значения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $\frac{13}{3}; 5$.