Номер 9.24, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.24, страница 97.

Условие.

9.24. Решите неравенство:

1) $\left|\frac{x-3}{x-5}\right| \ge 1;$

2) $\left|\frac{x+4}{x+2}\right| \le 1;$

3) $\left|\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}\right| < 1.$

Решение.

1)

Исходное неравенство: $|\frac{x-3}{x-5}| \ge 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x-5 \ne 0$, то есть $x \ne 5$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\frac{x-3}{x-5})^2 \ge 1^2$

$\frac{(x-3)^2}{(x-5)^2} - 1 \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x-3)^2 - (x-5)^2}{(x-5)^2} \ge 0$

В числителе используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{((x-3)-(x-5))((x-3)+(x-5))}{(x-5)^2} \ge 0$

$\frac{(x-3-x+5)(x-3+x-5)}{(x-5)^2} \ge 0$

$\frac{2(2x-8)}{(x-5)^2} \ge 0$

Знаменатель $(x-5)^2$ всегда положителен при $x \ne 5$. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 2(2x-8) \ge 0 \\ x \ne 5 \end{cases} $

Решаем первое неравенство:

$2x-8 \ge 0$

$2x \ge 8$

$x \ge 4$

Учитывая условие $x \ne 5$, получаем решение: $x \in [4, 5) \cup (5, \infty)$.

Ответ: $[4, 5) \cup (5, \infty)$.

2)

Исходное неравенство: $|\frac{x+4}{x+2}| \le 1$.

ОДЗ: $x+2 \ne 0$, то есть $x \ne -2$.

Возведем обе неотрицательные части неравенства в квадрат:

$(\frac{x+4}{x+2})^2 \le 1^2$

$\frac{(x+4)^2}{(x+2)^2} - 1 \le 0$

$\frac{(x+4)^2 - (x+2)^2}{(x+2)^2} \le 0$

Применяем формулу разности квадратов к числителю:

$\frac{((x+4)-(x+2))((x+4)+(x+2))}{(x+2)^2} \le 0$

$\frac{(x+4-x-2)(x+4+x+2)}{(x+2)^2} \le 0$

$\frac{2(2x+6)}{(x+2)^2} \le 0$

Знаменатель $(x+2)^2$ положителен при $x \ne -2$. Значит, знак дроби определяется знаком числителя:

$ \begin{cases} 2(2x+6) \le 0 \\ x \ne -2 \end{cases} $

Решаем первое неравенство:

$2x+6 \le 0$

$2x \le -6$

$x \le -3$

Это решение удовлетворяет условию $x \ne -2$.

Ответ: $(-\infty, -3]$.

3)

Исходное неравенство: $|\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}| < 1$.

ОДЗ: $x^2+3x+2 \ne 0$. Найдем корни знаменателя: $x^2+3x+2=0 \Rightarrow (x+1)(x+2)=0$. Значит, $x \ne -1$ и $x \ne -2$.

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$(\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2})^2 < 1^2$

$\frac{(x^2-3x+2)^2}{(x^2+3x+2)^2} - 1 < 0$

$\frac{(x^2-3x+2)^2 - (x^2+3x+2)^2}{(x^2+3x+2)^2} < 0$

Знаменатель $(x^2+3x+2)^2$ положителен в ОДЗ, поэтому неравенство сводится к тому, что числитель должен быть отрицателен:

$(x^2-3x+2)^2 - (x^2+3x+2)^2 < 0$

Используем формулу разности квадратов:

$((x^2-3x+2) - (x^2+3x+2))((x^2-3x+2) + (x^2+3x+2)) < 0$

$(x^2-3x+2 - x^2-3x-2)(x^2-3x+2 + x^2+3x+2) < 0$

$(-6x)(2x^2+4) < 0$

$-12x(x^2+2) < 0$

Выражение $x^2+2$ всегда положительно при любом действительном $x$. Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $-12(x^2+2)$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > 0$

Это решение не противоречит ОДЗ ($x \ne -1, x \ne -2$).

Ответ: $(0, \infty)$.