Номер 9.23, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.23, страница 97.

Условие.

9.23. Решите неравенство:

1) $|\frac{2x - 1}{x - 1}| \ge 2;$

2) $|\frac{3x}{x^2 - 4}| \le 1;$

3) $|\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 4}| \le 1.$

Решение.

1) $|\frac{2x-1}{x-1}| \ge 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\frac{2x-1}{x-1})^2 \ge 2^2$

$\frac{(2x-1)^2}{(x-1)^2} \ge 4$

Перенесем 4 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{(2x-1)^2}{(x-1)^2} - 4 \ge 0$

$\frac{(2x-1)^2 - 4(x-1)^2}{(x-1)^2} \ge 0$

Знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен при $x \neq 1$. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя. Решим неравенство:

$(2x-1)^2 - 4(x-1)^2 \ge 0$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 2x-1$ и $b = 2(x-1) = 2x-2$:

$((2x-1) - (2x-2)) \cdot ((2x-1) + (2x-2)) \ge 0$

$(2x-1-2x+2) \cdot (2x-1+2x-2) \ge 0$

$1 \cdot (4x-3) \ge 0$

$4x-3 \ge 0$

$4x \ge 3$

$x \ge \frac{3}{4}$

Учитывая ОДЗ ($x \neq 1$), получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [\frac{3}{4}, 1) \cup (1, \infty)$.

2) $|\frac{3x}{x^2-4}| \le 1$

ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Данное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \frac{3x}{x^2-4} \le 1 \\ \frac{3x}{x^2-4} \ge -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{3x}{x^2-4} - 1 \le 0 \Rightarrow \frac{3x - (x^2-4)}{x^2-4} \le 0 \Rightarrow \frac{-x^2+3x+4}{x^2-4} \le 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2-3x-4}{x^2-4} \ge 0 \Rightarrow \frac{(x-4)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \ge 0$

Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 2) \cup [4, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{3x}{x^2-4} + 1 \ge 0 \Rightarrow \frac{3x + x^2-4}{x^2-4} \ge 0 \Rightarrow \frac{x^2+3x-4}{x^2-4} \ge 0$

$\frac{(x+4)(x-1)}{(x-2)(x+2)} \ge 0$

Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -4] \cup (-2, 1] \cup (2, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

$((-\infty, -2) \cup [-1, 2) \cup [4, \infty)) \cap ((-\infty, -4] \cup (-2, 1] \cup (2, \infty))$

Пересечение дает нам: $(-\infty, -4] \cup [-1, 1] \cup [4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, 1] \cup [4, \infty)$.

3) $|\frac{x^2-5x+4}{x^2-4}| \le 1$

ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{x^2-5x+4}{x^2-4} \le 1 \\ \frac{x^2-5x+4}{x^2-4} \ge -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{x^2-5x+4}{x^2-4} - 1 \le 0 \Rightarrow \frac{x^2-5x+4 - (x^2-4)}{x^2-4} \le 0 \Rightarrow \frac{-5x+8}{x^2-4} \le 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{5x-8}{x^2-4} \ge 0 \Rightarrow \frac{5x-8}{(x-2)(x+2)} \ge 0$

Методом интервалов находим решение: $x \in (-2, \frac{8}{5}] \cup (2, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{x^2-5x+4}{x^2-4} + 1 \ge 0 \Rightarrow \frac{x^2-5x+4 + x^2-4}{x^2-4} \ge 0 \Rightarrow \frac{2x^2-5x}{x^2-4} \ge 0$

$\frac{x(2x-5)}{(x-2)(x+2)} \ge 0$

Методом интервалов находим решение: $x \in (-\infty, -2) \cup [0, 2) \cup [\frac{5}{2}, \infty)$.

Найдем пересечение решений:

$((-2, \frac{8}{5}] \cup (2, \infty)) \cap ((-\infty, -2) \cup [0, 2) \cup [\frac{5}{2}, \infty))$

Пересечение дает нам: $[0, \frac{8}{5}] \cup [\frac{5}{2}, \infty)$.

Ответ: $x \in [0, \frac{8}{5}] \cup [\frac{5}{2}, \infty)$.