Номер 9.16, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.16, страница 96.

Условие.

9.16. Решите неравенство $\left|\frac{x-5}{x}\right|(x^2-x-12) \le 0$.

Решение.

Для решения неравенства $|\frac{x-5}{x}| (x^2 - x - 12) \le 0$ проанализируем его компоненты.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби под модулем не может быть равен нулю, следовательно, $x \ne 0$.

Выражение $|\frac{x-5}{x}|$ представляет собой модуль, который по определению всегда неотрицателен, то есть $|\frac{x-5}{x}| \ge 0$ для любого $x$ из ОДЗ.

Произведение неотрицательного множителя $|\frac{x-5}{x}|$ и второго множителя $(x^2 - x - 12)$ будет меньше или равно нулю в следующих двух случаях:

1. Произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю.

Если $|\frac{x-5}{x}| = 0$, то $\frac{x-5}{x} = 0$, что означает $x-5=0$, откуда $x=5$. Это значение входит в ОДЗ.

Если $x^2 - x - 12 = 0$, найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2} = 4$. Оба корня входят в ОДЗ.

Таким образом, числа $x=-3$, $x=4$ и $x=5$ являются решениями исходного неравенства.

2. Произведение строго меньше нуля. Поскольку $|\frac{x-5}{x}| \ge 0$, это возможно только если множитель $|\frac{x-5}{x}|$ строго положителен, а множитель $(x^2 - x - 12)$ строго отрицателен.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} |\frac{x-5}{x}| > 0 \\ x^2 - x - 12 < 0 \end{cases}$

Первое неравенство $|\frac{x-5}{x}| > 0$ выполняется для всех $x$ из ОДЗ, при которых подмодульное выражение не равно нулю, то есть при $x \ne 5$ и $x \ne 0$.

Решим второе неравенство $x^2 - x - 12 < 0$. Мы уже нашли корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$. Так как это парабола с ветвями вверх, отрицательные значения она принимает между корнями: $x \in (-3, 4)$.

Объединяя условия для этого случая ($x \in (-3, 4)$, $x \ne 0$ и $x \ne 5$), получаем $x \in (-3, 0) \cup (0, 4)$. (Условие $x \ne 5$ избыточно, так как 5 не входит в интервал $(-3, 4)$).

Теперь объединим все найденные решения. Мы имеем отдельные точки $\{-3, 4, 5\}$ и интервалы $(-3, 0) \cup (0, 4)$. Объединение этих множеств дает итоговый результат.

Ответ: $x \in [-3, 0) \cup (0, 4] \cup \{5\}$.