Номер 9.13, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.13, страница 96.

Условие.

9.13. Решите неравенство:

1) $(x - 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \ge 0;$

2) $\frac{4x^2 - 4x + 1}{x^2 + x - 12} \ge 0;$

3) $\frac{x^3 - 3x + 2}{6 - x} \le 0;$

4) $\frac{|x|(x + 1)^3}{|x - 4|^3 (x + 3)} \le 0.$

Решение.

1) $(x - 5)(x + 4)(x^2 + 6x + 9) \ge 0$

Преобразуем выражение в левой части неравенства. Заметим, что $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$(x - 5)(x + 4)(x + 3)^2 \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части, то есть значения $x$, при которых выражение равно нулю:

$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$

$(x + 3)^2 = 0 \Rightarrow x = -3$ (корень кратности 2)

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), все корни являются частью решения. Корень $x = -3$ имеет четную кратность (2), поэтому при переходе через эту точку знак выражения не меняется. Корни $x = -4$ и $x = 5$ имеют нечетную кратность (1), поэтому знак меняется.

Определим знак на каждом интервале. Возьмем пробную точку $x = 10$ из крайнего правого интервала $(5, +\infty)$:

$(10 - 5)(10 + 4)(10 + 3)^2 = 5 \cdot 14 \cdot 13^2 > 0$. Знак `+`.

Двигаясь справа налево по числовой прямой, расставим знаки:

• Интервал $(5, +\infty)$: `+`
• Интервал $(-3, 5)$: `-` (знак изменился при переходе через $x=5$)
• Интервал $(-4, -3)$: `-` (знак не изменился при переходе через $x=-3$)
• Интервал $(-\infty, -4)$: `+` (знак изменился при переходе через $x=-4$)

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком `+` и сами корни.

Получаем: $x \in (-\infty, -4] \cup [5, +\infty)$. Также, в точке $x = -3$ выражение равно нулю, что удовлетворяет условию. Поэтому эту точку нужно включить в ответ.

Итоговое решение: $(-\infty, -4] \cup \{-3\} \cup [5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -4] \cup \{-3\} \cup [5, +\infty)$.

2) $\frac{4x^2 - 4x + 1}{x^2 + x - 12} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = (2x - 1)^2$. Это полный квадрат.

Знаменатель: $x^2 + x - 12$. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Тогда $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(2x - 1)^2}{(x - 3)(x + 4)} \ge 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $(2x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1/2$. Это корень кратности 2. Так как неравенство нестрогое, эта точка включается в решение.

Нули знаменателя: $(x - 3)(x + 4) = 0 \Rightarrow x = 3$ и $x = -4$. Эти точки исключаются из решения (знаменатель не может быть равен нулю).

Отметим точки $-4, 1/2, 3$ на числовой прямой. Точка $x=1/2$ закрашенная, точки $x=-4$ и $x=3$ выколотые.

Определим знаки на интервалах. При переходе через $x=1/2$ знак не меняется (четная кратность), а при переходе через $x=-4$ и $x=3$ — меняется.

Возьмем пробную точку $x=10$: $\frac{(2 \cdot 10 - 1)^2}{(10 - 3)(10 + 4)} = \frac{19^2}{7 \cdot 14} > 0$. Знак `+` на $(3, +\infty)$.

• Интервал $(3, +\infty)$: `+`
• Интервал $(1/2, 3)$: `-`
• Интервал $(-4, 1/2)$: `-`
• Интервал $(-\infty, -4)$: `+`

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком `+` и нуль числителя.

Получаем: $(-\infty, -4) \cup (3, +\infty)$. Также включаем точку $x = 1/2$, где выражение равно нулю.

Ответ: $(-\infty, -4) \cup \{1/2\} \cup (3, +\infty)$.

3) $\frac{x^3 - 3x + 2}{6 - x} \le 0$

Сначала разложим на множители числитель $P(x) = x^3 - 3x + 2$. Подбором находим корень $x=1$: $P(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0$. Значит, $(x-1)$ — один из множителей. Разделим многочлен $x^3 - 3x + 2$ на $(x-1)$ (например, столбиком или по схеме Горнера) и получим $x^2 + x - 2$.

Теперь разложим на множители $x^2 + x - 2$. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ — это $x=1$ и $x=-2$.

Таким образом, $x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)(x - 1)(x + 2) = (x - 1)^2(x + 2)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{6 - x} \le 0$

Чтобы в знаменателе коэффициент при $x$ был положительным, умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{-(x - 6)} \le 0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x - 1)^2(x + 2)}{x - 6} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=1$ (кратность 2) и $x=-2$. Нуль знаменателя: $x=6$.

Отметим точки на числовой прямой. Точки $x=1$ и $x=-2$ закрашенные (неравенство нестрогое), точка $x=6$ выколотая (знаменатель).

При переходе через $x=1$ знак не меняется, при переходе через $x=-2$ и $x=6$ — меняется.

Проверим знак на интервале $(6, +\infty)$, взяв $x=10$: $\frac{(10 - 1)^2(10 + 2)}{10 - 6} > 0$. Знак `+`.

• Интервал $(6, +\infty)$: `+`
• Интервал $(1, 6)$: `-`
• Интервал $(-2, 1)$: `-`
• Интервал $(-\infty, -2)$: `+`

Нас интересуют значения $x$, при которых выражение $\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{x - 6}$ больше или равно нулю. Это интервалы со знаком `+` и нули числителя.

Получаем: $(-\infty, -2] \cup (6, +\infty)$. Также включаем точку $x=1$, в которой выражение равно 0.

Ответ: $(-\infty, -2] \cup \{1\} \cup (6, +\infty)$.

4) $\frac{|x|(x + 1)^3}{|x - 4|^3(x + 3)} \le 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.

$|x - 4|^3 \ne 0 \Rightarrow x - 4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$

$x + 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$

Рассмотрим множители в неравенстве:

$|x| \ge 0$ при всех $x$.

$|x - 4|^3 > 0$ при всех $x$ из ОДЗ.

Так как $|x|$ и $|x - 4|^3$ — неотрицательные величины, знак всей дроби зависит только от знака выражения $\frac{(x + 1)^3}{x + 3}$.

Исходное неравенство равносильно совокупности двух случаев:

1. Левая часть равна нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю: $|x|(x+1)^3 = 0$, то есть $x=0$ или $x=-1$. Обе точки входят в ОДЗ.

2. Левая часть строго меньше нуля. Это происходит, когда выражение $\frac{(x + 1)^3}{x + 3}$ отрицательно. Неравенство $\frac{(x + 1)^3}{x + 3} < 0$ эквивалентно $\frac{x + 1}{x + 3} < 0$.

Решим $\frac{x + 1}{x + 3} < 0$ методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = -1$ и $x = -3$.

Наносим точки на числовую прямую. Интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, -1)$, $(-1, +\infty)$.

Проверяем знаки: при $x=0$ получаем $\frac{1}{3} > 0$; при $x=-2$ получаем $\frac{-1}{1} < 0$; при $x=-4$ получаем $\frac{-3}{-1} > 0$.

Знак `-` на интервале $(-3, -1)$.

Итак, решение для строгой части неравенства: $x \in (-3, -1)$.

Объединяем полученные результаты: $x \in (-3, -1)$ или $x=0$ или $x=-1$.

Это дает нам множество $(-3, -1] \cup \{0\}$.

Ответ: $(-3, -1] \cup \{0\}$.