Номер 9.12, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.12, страница 96.

Условие.

9.12. Решите неравенство:

1) $(x - 3)(x + 2)^2(x - 5) \ge 0;$

2) $\frac{(2 - x)(4x + 3)}{(x - 3)^3 (x + 1)^2} \le 0;$

3) $\frac{(x + 6)^3 (x + 4)(6 - x)^5}{|x + 5|} \ge 0;$

4) $\frac{20}{x^2 - 7x + 12} + \frac{10}{x - 4} + 1 \ge 0.$

Решение.

1) $(x - 3)(x + 2)^2(x - 5) \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули выражения, стоящего в левой части:

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

$(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$

$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

Корень $x = -2$ имеет кратность 2 (четная), поэтому при переходе через эту точку на числовой оси знак выражения меняться не будет. Корни $x = 3$ и $x = 5$ имеют кратность 1 (нечетная), знак будет меняться.

Нанесем точки на числовую ось. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), все точки включаются в решение.

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 5$ (например, $x=6$): $(6-3)(6+2)^2(6-5) = 3 \cdot 8^2 \cdot 1 > 0$. Знак «+».
• При $x \in (3; 5)$: знак меняется на «−».
• При $x \in (-2; 3)$: знак меняется на «+».
• При $x \in (-\infty; -2)$: знак не меняется (из-за четной кратности корня $x=-2$) и остается «+».

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty; -2]$, $[-2; 3]$ и $[5; +\infty)$. Объединяя первые два интервала, получаем окончательное решение.

Ответ: $(-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$.

2) $\frac{(2 - x)(4x + 3)}{(x - 3)^3(x + 1)^2} \le 0$

Преобразуем неравенство, чтобы в множителе $(2-x)$ коэффициент при $x$ был положительным: $-(x - 2)$.

$\frac{-(x - 2)(4x + 3)}{(x - 3)^3(x + 1)^2} \le 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:

$\frac{(x - 2)(4x + 3)}{(x - 3)^3(x + 1)^2} \ge 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя (точки, которые могут входить в решение):

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (кратность 1, нечетная)

$4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3/4$ (кратность 1, нечетная)

Нули знаменателя (точки, которые всегда исключаются из решения):

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ (кратность 3, нечетная)

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ (кратность 2, четная)

Нанесем точки на числовую ось: точки $x=2$ и $x=-3/4$ будут закрашенными, а $x=3$ и $x=-1$ — выколотыми.

Определим знаки на интервалах для преобразованного неравенства ($\ge 0$):

• При $x > 3$: все множители положительны. Знак «+».
• При $x \in (2; 3)$: знак меняется на «−» (т.к. $x=3$ нечетной кратности).
• При $x \in (-3/4; 2)$: знак меняется на «+» (т.к. $x=2$ нечетной кратности).
• При $x \in (-1; -3/4)$: знак меняется на «−» (т.к. $x=-3/4$ нечетной кратности).
• При $x \in (-\infty; -1)$: знак не меняется и остается «−» (т.к. $x=-1$ четной кратности).

Выбираем интервалы со знаком «+», включая закрашенные точки.

Ответ: $[-3/4; 2] \cup (3; +\infty)$.

3) $\frac{(x + 6)^3(x + 4)(6 - x)^5}{|x + 5|} \ge 0$

Знаменатель $|x + 5|$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -5$. Так как на ноль делить нельзя, областью допустимых значений является $x \neq -5$.

При $x \neq -5$ знаменатель $|x + 5|$ строго положителен, поэтому мы можем умножить на него обе части неравенства, не меняя знака.

Получаем систему:

$\begin{cases} (x + 6)^3(x + 4)(6 - x)^5 \ge 0 \\ x \neq -5 \end{cases}$

Решим первое неравенство. Преобразуем множитель $(6 - x)^5 = (-(x - 6))^5 = -(x - 6)^5$.

$-(x + 6)^3(x + 4)(x - 6)^5 \ge 0$

Умножим на -1, сменив знак:

$(x + 6)^3(x + 4)(x - 6)^5 \le 0$

Найдем нули: $x = -6$ (кратность 3), $x = -4$ (кратность 1), $x = 6$ (кратность 5). Все корни имеют нечетную кратность, значит, знак будет меняться при переходе через каждую точку.

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 6$: все множители положительны. Знак «+».
• При $x \in (-4; 6)$: знак «−».
• При $x \in (-6; -4)$: знак «+».
• При $x \in (-\infty; -6)$: знак «−».

Выбираем интервалы со знаком «−», включая концы, так как неравенство нестрогое ($\le 0$): $(-\infty; -6] \cup [-4; 6]$.

Теперь учтем условие $x \neq -5$. Точка -5 находится внутри интервала $[-4; 6]$. Значит, ее нужно исключить.

Ответ: $(-\infty; -6] \cup [-4; -5) \cup (-5; 6]$.

4) $\frac{20}{x^2 - 7x + 12} + \frac{10}{x - 4} + 1 \ge 0$

Разложим квадратный трехчлен в знаменателе первой дроби на множители: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$. Область допустимых значений: $x \neq 3$ и $x \neq 4$.

Перепишем неравенство:

$\frac{20}{(x - 3)(x - 4)} + \frac{10}{x - 4} + 1 \ge 0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x - 3)(x - 4)$:

$\frac{20 + 10(x - 3) + (x - 3)(x - 4)}{(x - 3)(x - 4)} \ge 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{20 + 10x - 30 + x^2 - 4x - 3x + 12}{(x - 3)(x - 4)} \ge 0$

$\frac{x^2 + 3x + 2}{(x - 3)(x - 4)} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ равны $x = -1$ и $x = -2$.

Получаем неравенство:

$\frac{(x + 1)(x + 2)}{(x - 3)(x - 4)} \ge 0$

Решаем методом интервалов. Все корни имеют кратность 1 (нечетную).

Нули числителя (закрашенные точки): $x = -1, x = -2$.

Нули знаменателя (выколотые точки): $x = 3, x = 4$.

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 4$: знак «+».
• При $x \in (3; 4)$: знак «−».
• При $x \in (-1; 3)$: знак «+».
• При $x \in (-2; -1)$: знак «−».
• При $x \in (-\infty; -2)$: знак «+».

Выбираем интервалы со знаком «+», включая закрашенные точки.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [-1; 3) \cup (4; +\infty)$.