Номер 9.17, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.17, страница 97.

Условие.

9.17. Решите неравенство:

1) $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} > 0;$

2) $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} \ge 0;$

3) $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} < 0;$

4) $(x + 4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} \le 0;$

5) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} < 0;$

6) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} > 0;$

7) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \le 0;$

8) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \ge 0;$

9) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} < 0;$

10) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} > 0;$

11) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \le 0;$

12) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \ge 0.$

Решение.

1) Решим неравенство $(x+4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} > 0$.
Поскольку квадратный корень должен быть строго больше нуля (так как неравенство строгое), данное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x+4 > 0 \\ x^2 - 2x - 15 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x+4 > 0 \implies x > -4$.
Решим второе неравенство: $x^2 - 2x - 15 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (5, \infty)$.
Найдем пересечение решений системы: $x \in (-4, \infty) \cap ((-\infty, -3) \cup (5, \infty))$.
Решением является $x \in (-4, -3) \cup (5, \infty)$.
Ответ: $x \in (-4, -3) \cup (5, \infty)$.

2) Решим неравенство $(x+4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} \ge 0$.
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Когда выражение равно нулю: $\sqrt{x^2 - 2x - 15} = 0$, то есть $x^2 - 2x - 15 = 0$. Корни этого уравнения $x_1=5, x_2=-3$.
2. Когда выражение строго больше нуля, что было решено в пункте 1): $x \in (-4, -3) \cup (5, \infty)$.
Объединяя эти решения, получаем: $x \in ([-4, -3) \cup (5, \infty)) \cup \{-3, 5\}$.
Итоговое решение: $x \in [-4, -3] \cup [5, \infty)$.
Ответ: $x \in [-4, -3] \cup [5, \infty)$.

3) Решим неравенство $(x+4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} < 0$.
Поскольку $\sqrt{x^2 - 2x - 15} \ge 0$, для выполнения неравенства множитель $\sqrt{x^2 - 2x - 15}$ должен быть строго положительным, а множитель $(x+4)$ — строго отрицательным. Это равносильно системе:
$\begin{cases} x+4 < 0 \\ x^2 - 2x - 15 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x+4 < 0 \implies x < -4$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (5, \infty)$.
Найдем пересечение решений системы: $x \in (-\infty, -4) \cap ((-\infty, -3) \cup (5, \infty))$.
Решением является $x \in (-\infty, -4)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4)$.

4) Решим неравенство $(x+4)\sqrt{x^2 - 2x - 15} \le 0$.
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Когда выражение равно нулю: $x^2 - 2x - 15 = 0$, что дает корни $x_1=5, x_2=-3$. Также равенство нулю будет при $x+4=0 \implies x=-4$, если это значение входит в область определения корня. Проверим: $(-4)^2 - 2(-4) - 15 = 16+8-15 = 9 \ge 0$. Значит, $x=-4$ также является решением.
2. Когда выражение строго меньше нуля, что было решено в пункте 3): $x \in (-\infty, -4)$.
Объединяя эти решения, получаем: $x \in (-\infty, -4) \cup \{-4, -3, 5\}$.
Итоговое решение: $x \in (-\infty, -4] \cup \{-3, 5\}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup \{-3, 5\}$.

5) Решим неравенство $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} < 0$.
Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 1 < 0 \\ x^2 - 4 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$, т.е. $x \in (-1, 1)$.
Решим второе неравенство: $x^2 > 4 \implies x < -2$ или $x > 2$, т.е. $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Пересечение множеств $(-1, 1)$ и $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ пусто.
Ответ: $x \in \emptyset$.

6) Решим неравенство $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} > 0$.
Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ x^2 - 4 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x^2 > 1 \implies x < -1$ или $x > 1$, т.е. $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Решим второе неравенство: $x^2 > 4 \implies x < -2$ или $x > 2$, т.е. $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Найдем пересечение этих множеств. Это будет $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

7) Решим неравенство $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \le 0$.
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Когда выражение равно нулю: $\sqrt{x^2 - 4} = 0 \implies x^2-4=0 \implies x = \pm 2$.
2. Когда выражение строго меньше нуля. Как мы выяснили в пункте 5), это неравенство не имеет решений.
Следовательно, решениями являются только значения, при которых выражение равно нулю.
Ответ: $x \in \{-2, 2\}$.

8) Решим неравенство $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \ge 0$.
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Когда выражение равно нулю: $x=\pm 2$.
2. Когда выражение строго больше нуля. Как мы выяснили в пункте 6), решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Объединяя эти решения, получаем: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

9) Решим неравенство $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} < 0$.
Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 < 0 \\ x^2 - 7x + 10 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $(x-1)(x-4) < 0 \implies x \in (1, 4)$.
Решим второе неравенство: $(x-2)(x-5) > 0 \implies x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.
Найдем пересечение: $x \in (1, 4) \cap ((-\infty, 2) \cup (5, \infty))$.
Решением является $x \in (1, 2)$.
Ответ: $x \in (1, 2)$.

10) Решим неравенство $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} > 0$.
Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 > 0 \\ x^2 - 7x + 10 > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $(x-1)(x-4) > 0 \implies x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.
Решим второе неравенство: $(x-2)(x-5) > 0 \implies x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.
Найдем пересечение: $x \in ((-\infty, 1) \cup (4, \infty)) \cap ((-\infty, 2) \cup (5, \infty))$.
Решением является $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

11) Решим неравенство $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \le 0$.
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Когда выражение равно нулю: $\sqrt{x^2 - 7x + 10} = 0 \implies (x-2)(x-5)=0 \implies x=2$ или $x=5$.
2. Когда выражение строго меньше нуля. Как решено в пункте 9), $x \in (1, 2)$.
Объединяя решения, получаем: $x \in (1, 2) \cup \{2, 5\}$.
Итоговое решение: $x \in [1, 2] \cup \{5\}$.
Ответ: $x \in [1, 2] \cup \{5\}$.

12) Решим неравенство $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \ge 0$.
Неравенство выполняется в двух случаях:
1. Когда выражение равно нулю: $x=2$ или $x=5$. Также выражение равно нулю, если $x^2-5x+4=0$ при условии, что $x$ входит в область определения корня. Корни $x=1, x=4$. Для $x=1$: $1^2-7(1)+10=4\ge 0$. Для $x=4$: $4^2-7(4)+10=-2 < 0$, не входит в ОДЗ. Итак, равенство нулю при $x=1, x=2, x=5$.
2. Когда выражение строго больше нуля. Как решено в пункте 10), $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.
Объединяя решения, получаем: $x \in ((-\infty, 1) \cup (5, \infty)) \cup \{1, 2, 5\}$.
Итоговое решение: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [5, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [5, \infty)$.