Номер 9.19, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.19, страница 97.

Условие.

9.19. Решите неравенство $\left|\frac{x}{x^2 - 9}\right| \le \frac{x}{x^2 - 9}$

Решение.

Заданное неравенство: $|\frac{x}{x^2 - 9}| \le \frac{x}{x^2 - 9}$.
Пусть $A = \frac{x}{x^2 - 9}$. Неравенство можно записать в виде $|A| \le A$.
По определению, модуль любого числа $|A|$ всегда неотрицателен. Из неравенства $|A| \le A$ следует, что $A$ также должно быть неотрицательно ($A \ge 0$), так как $A$ больше или равно неотрицательному числу.
Если $A \ge 0$, то $|A| = A$, и неравенство $A \le A$ становится верным для всех $x$, при которых $A \ge 0$.
Если $A < 0$, то $|A| = -A$, и неравенство $-A \le A$ (где $-A>0$ и $A<0$) не имеет решений.
Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $A \ge 0$.

Решим неравенство $\frac{x}{x^2 - 9} \ge 0$.
Для решения используем метод интервалов. Сначала разложим знаменатель на множители:
$\frac{x}{(x-3)(x+3)} \ge 0$
Найдём нули числителя и знаменателя. Это точки $x=0$, $x=-3$, $x=3$.
Эти точки делят числовую ось на интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$, $(3, \infty)$.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -3$ и $x \neq 3$.
Определим знак выражения в каждом интервале, подставляя пробные точки:

• В интервале $(3, \infty)$, например при $x=4$: $\frac{4}{(4-3)(4+3)} = \frac{+}{(+)(+)} > 0$.
• В интервале $(0, 3)$, например при $x=1$: $\frac{1}{(1-3)(1+3)} = \frac{+}{(-)(+)} < 0$.
• В интервале $(-3, 0)$, например при $x=-1$: $\frac{-1}{(-1-3)(-1+3)} = \frac{-}{(-)(+)} > 0$.
• В интервале $(-\infty, -3)$, например при $x=-4$: $\frac{-4}{(-4-3)(-4+3)} = \frac{-}{(-)(-)} < 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение неотрицательно. Это интервалы, где знак «+», а также точка, где числитель равен нулю.
Выражение положительно на $(-3, 0) \cup (3, \infty)$.
Выражение равно нулю при $x=0$.
Объединяя эти результаты, получаем множество решений.
Ответ: $x \in (-3, 0] \cup (3, \infty)$.