Номер 9.26, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.26, страница 98.

Условие.

9.26. Решите уравнение:

1) $|3x - 2| + |x^2 - 5x + 6| = x^2 - 2x + 4;$

2) $|x^2 - 9| + |x^2 + 4x + 3| = |2x^2 + 4x - 6|.$

Решение.

1) $|3x - 2| + |x^2 - 5x + 6| = x^2 - 2x + 4$

Заметим, что правая часть уравнения является суммой выражений, стоящих под знаком модуля в левой части:

$(3x - 2) + (x^2 - 5x + 6) = 3x - 2 + x^2 - 5x + 6 = x^2 - 2x + 4$.

Таким образом, уравнение можно представить в виде $|A| + |B| = A + B$, где $A = 3x - 2$ и $B = x^2 - 5x + 6$.

Равенство $|A| + |B| = A + B$ выполняется тогда и только тогда, когда оба выражения $A$ и $B$ неотрицательны, то есть $A \ge 0$ и $B \ge 0$.

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ x^2 - 5x + 6 \ge 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$3x - 2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 5x + 6$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть решение системы:

$$ \begin{cases} x \ge \frac{2}{3} \\ x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty) \end{cases} $$

Пересечением этих множеств является $x \in [\frac{2}{3}, 2] \cup [3, \infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{2}{3}, 2] \cup [3, \infty)$.

2) $|x^2 - 9| + |x^2 + 4x + 3| = |2x^2 + 4x - 6|$

Обозначим выражения под модулем:

$A = x^2 - 9$

$B = x^2 + 4x + 3$

Заметим, что выражение под модулем в правой части является суммой выражений $A$ и $B$:

$A + B = (x^2 - 9) + (x^2 + 4x + 3) = 2x^2 + 4x - 6$.

Уравнение принимает вид $|A| + |B| = |A + B|$.

Это равенство (случай равенства в неравенстве треугольника) выполняется тогда и только тогда, когда выражения $A$ и $B$ имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны), что равносильно условию $A \cdot B \ge 0$.

Получаем неравенство:

$(x^2 - 9)(x^2 + 4x + 3) \ge 0$

Разложим каждый квадратный трехчлен на множители:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

$x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)$ (корни -1 и -3 по теореме Виета)

Подставим разложения в неравенство:

$(x - 3)(x + 3)(x + 1)(x + 3) \ge 0$

$(x + 3)^2(x - 3)(x + 1) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Множитель $(x + 3)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -3$, что является решением неравенства. При $x \ne -3$, множитель $(x+3)^2$ строго положителен, и мы можем разделить на него неравенство, не меняя знака:

$(x - 3)(x + 1) \ge 0$

Корнями выражения слева являются $x = -1$ и $x = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

Объединяя это решение с ранее найденной точкой $x = -3$ (которая и так входит в промежуток $(-\infty, -1]$), получаем окончательное множество решений.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.