Номер 9.32, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 1. Квадратичная функция. Параграф 9. Решение неравенств методом интервалов - номер 9.32, страница 98.

Условие.

9.32. Решите уравнение $[x]\{x\} - 3\{x\} = 6 - x.$

Решение.

Данное уравнение содержит целую и дробную части числа $x$. Обозначим целую часть $x$ как $[x] = n$, где $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$), а дробную часть $x$ как $\{x\} = \alpha$, где $0 \le \alpha < 1$.

По определению, любое действительное число $x$ можно представить в виде суммы его целой и дробной частей: $x = [x] + \{x\} = n + \alpha$.

Подставим эти обозначения и выражение для $x$ в исходное уравнение:

$[x]\{x\} - 3\{x\} = 6 - x$

$n\alpha - 3\alpha = 6 - (n + \alpha)$

Теперь раскроем скобки и выразим $\alpha$ через $n$:

$n\alpha - 3\alpha = 6 - n - \alpha$

$n\alpha - 3\alpha + \alpha = 6 - n$

$\alpha(n - 2) = 6 - n$

Рассмотрим случай, когда $n - 2 = 0$, то есть $n = 2$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \alpha = 6 - 2$, или $0 = 4$, что является неверным равенством. Следовательно, $n \ne 2$.

Поскольку $n \ne 2$, мы можем разделить обе части уравнения на $n - 2$:

$\alpha = \frac{6 - n}{n - 2}$

Мы знаем, что для дробной части должно выполняться условие $0 \le \alpha < 1$. Подставим в это неравенство выражение для $\alpha$:

$0 \le \frac{6 - n}{n - 2} < 1$

Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух неравенств:

1) $\frac{6 - n}{n - 2} \ge 0$

2) $\frac{6 - n}{n - 2} < 1$

Решим первое неравенство методом интервалов. Умножим числитель и знаменатель на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{n - 6}{n - 2} \le 0$

Корни числителя и знаменателя: $n = 6$ и $n = 2$. На числовой прямой эти точки разбивают ось на три интервала. Проверяя знаки на интервалах, получаем решение $2 < n \le 6$.

Решим второе неравенство:

$\frac{6 - n}{n - 2} - 1 < 0$

$\frac{6 - n - (n - 2)}{n - 2} < 0$

$\frac{6 - n - n + 2}{n - 2} < 0$

$\frac{8 - 2n}{n - 2} < 0$

$\frac{2(4 - n)}{n - 2} < 0$

Умножим на -1, изменив знак:

$\frac{n - 4}{n - 2} > 0$

Методом интервалов находим решение: $n < 2$ или $n > 4$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, учитывая, что $n$ — целое число.

Из первого неравенства имеем $n \in \{3, 4, 5, 6\}$.

Из второго неравенства $n$ должно быть меньше 2 или больше 4.

Объединяя эти условия, получаем, что возможные целые значения для $n$ — это 5 и 6.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $n$:

- Если $n = 5$:

$\alpha = \frac{6 - 5}{5 - 2} = \frac{1}{3}$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le \alpha < 1$.

Тогда $x = n + \alpha = 5 + \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$.

- Если $n = 6$:

$\alpha = \frac{6 - 6}{6 - 2} = \frac{0}{4} = 0$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le \alpha < 1$.

Тогда $x = n + \alpha = 6 + 0 = 6$.

Проверим найденные корни.

Для $x = \frac{16}{3}$: $[x]=5$, $\{x\}=\frac{1}{3}$. $5 \cdot \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. $6 - \frac{16}{3} = \frac{18-16}{3} = \frac{2}{3}$. Верно.

Для $x = 6$: $[x]=6$, $\{x\}=0$. $6 \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 0$. $6 - 6 = 0$. Верно.

Ответ: $x_1 = \frac{16}{3}$, $x_2 = 6$.