Номер 10.4, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.4, страница 111.

Условие.

10.4. Постройте график уравнения:

1) $x^2 = 4y^2;$

2) $y^2 = 1;$

3) $xy - 4x + 2y = 8;$

4) $x^2 - 6xy + 5y^2 = 0.$

Решение.

1) $x^2 = 4y^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^2 - 4y^2 = 0$

Это выражение является разностью квадратов, которую можно разложить на множители:

$(x - 2y)(x + 2y) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Таким образом, данное уравнение распадается на два линейных уравнения:

1. $x - 2y = 0$, откуда $2y = x$, или $y = \frac{1}{2}x$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $\frac{1}{2}$.

2. $x + 2y = 0$, откуда $2y = -x$, или $y = -\frac{1}{2}x$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $-\frac{1}{2}$.

Следовательно, графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых, заданных уравнениями $y = \frac{1}{2}x$ и $y = -\frac{1}{2}x$.

2) $y^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{y^2} = \sqrt{1}$

$|y| = 1$

Это уравнение эквивалентно двум случаям:

1. $y = 1$. Это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси Ox и проходящей через точку (0, 1).

2. $y = -1$. Это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси Ox и проходящей через точку (0, -1).

Таким образом, график данного уравнения состоит из двух параллельных прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых, заданных уравнениями $y = 1$ и $y = -1$.

3) $xy - 4x + 2y = 8$

Для построения графика преобразуем уравнение, используя метод разложения на множители. Перенесем 8 в левую часть:

$xy - 4x + 2y - 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(xy - 4x) + (2y - 8) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(y - 4) + 2(y - 4) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(y - 4)$:

$(x + 2)(y - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это дает нам два уравнения:

1. $x + 2 = 0$, откуда $x = -2$. Это уравнение вертикальной прямой, параллельной оси Oy и проходящей через точку (-2, 0).

2. $y - 4 = 0$, откуда $y = 4$. Это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси Ox и проходящей через точку (0, 4).

График уравнения представляет собой объединение этих двух перпендикулярных прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара перпендикулярных прямых, заданных уравнениями $x = -2$ и $y = 4$.

4) $x^2 - 6xy + 5y^2 = 0$

Это однородное уравнение второй степени. Мы можем разложить левую часть на множители, рассмотрев ее как квадратный трехчлен относительно переменной $x$.

Найдем корни уравнения $x^2 - (6y)x + 5y^2 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-6y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5y^2) = 36y^2 - 20y^2 = 16y^2 = (4y)^2$

Корни уравнения для $x$:

$x_{1,2} = \frac{-(-6y) \pm \sqrt{(4y)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{6y \pm 4y}{2}$

Отсюда получаем два случая:

$x_1 = \frac{6y + 4y}{2} = \frac{10y}{2} = 5y$

$x_2 = \frac{6y - 4y}{2} = \frac{2y}{2} = y$

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде произведения двух линейных множителей:

$(x - 5y)(x - y) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $x - 5y = 0$, откуда $x = 5y$, или $y = \frac{1}{5}x$. Это прямая, проходящая через начало координат.

2. $x - y = 0$, откуда $x = y$, или $y = x$. Это также прямая, проходящая через начало координат (биссектриса первого и третьего координатных углов).

График уравнения является объединением этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых, заданных уравнениями $y = \frac{1}{5}x$ и $y = x$.