Номер 10.1, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.1, страница 110.

Условие.

10.1. Решите уравнение:

1) $x^2 - 8x + y^2 + 4y + 20 = 0$;

2) $5x^2 - 2xy + y^2 - 4x + 1 = 0$;

3) $\sqrt{y - 1} = \sqrt{-x^2(x - 1)^2}$;

4) $y^2 = \sqrt{1 - x^2} - 1$.

Решение.

1) $x^2 - 8x + y^2 + 4y + 20 = 0$

Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и выделим полные квадраты, используя формулы $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x^2 - 8x) + (y^2 + 4y) + 20 = 0$

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 16) - 16 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 4) - 4 + 20 = 0$

$(x-4)^2 + (y+2)^2 - 16 - 4 + 20 = 0$

$(x-4)^2 + (y+2)^2 = 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x-4)^2 \ge 0$ и $(y+2)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Таким образом, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (x-4)^2 = 0 \\ (y+2)^2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x-4 = 0 \\ y+2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 4 \\ y = -2 \end{cases}$

Ответ: $(4; -2)$.

2) $5x^2 - 2xy + y^2 - 4x + 1 = 0$

Представим $5x^2$ как $4x^2 + x^2$ и перегруппируем слагаемые для выделения полных квадратов:

$(y^2 - 2xy + x^2) + (4x^2 - 4x + 1) = 0$

Первая группа слагаемых представляет собой полный квадрат разности $(y-x)^2$, а вторая — полный квадрат разности $(2x-1)^2$.

$(y-x)^2 + (2x-1)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если каждое из них равно нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} y-x = 0 \\ 2x-1 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $x$: $2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.

Подставляем найденное значение $x$ в первое уравнение: $y - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$.

3) $\sqrt{y-1} = \sqrt{-x^2(x-1)^2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} y-1 \ge 0 \\ -x^2(x-1)^2 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $y \ge 1$.

Рассмотрим второе неравенство. Так как $x^2 \ge 0$ и $(x-1)^2 \ge 0$ для любых действительных $x$, то их произведение $x^2(x-1)^2 \ge 0$. Умножение на $-1$ меняет знак неравенства, поэтому $-x^2(x-1)^2 \le 0$.

Таким образом, условие $-x^2(x-1)^2 \ge 0$ выполняется только тогда, когда $-x^2(x-1)^2 = 0$. Это возможно при $x=0$ или $x=1$.

Подставим эти значения $x$ в исходное уравнение. В обоих случаях правая часть уравнения обращается в ноль: $\sqrt{0} = 0$.

Тогда уравнение принимает вид: $\sqrt{y-1} = 0$.

Возводим обе части в квадрат: $y-1=0 \Rightarrow y=1$.

Это значение удовлетворяет ОДЗ ($y \ge 1$). Таким образом, получаем два решения.

Ответ: $(0; 1)$, $(1; 1)$.

4) $y^2 = \sqrt{1-x^2} - 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$1-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 1 \Rightarrow -1 \le x \le 1$.

Оценим значения, которые могут принимать левая и правая части уравнения.

Левая часть: $y^2 \ge 0$ для любого действительного $y$.

Правая часть: $\sqrt{1-x^2} - 1$. Из ОДЗ мы знаем, что $0 \le 1-x^2 \le 1$. Следовательно, $0 \le \sqrt{1-x^2} \le 1$. Вычитая 1 из всех частей неравенства, получаем $-1 \le \sqrt{1-x^2} - 1 \le 0$.

Итак, левая часть уравнения $y^2$ всегда неотрицательна, а правая часть $\sqrt{1-x^2} - 1$ всегда неположительна. Равенство между ними возможно только в том случае, если обе части одновременно равны нулю.

$\begin{cases} y^2 = 0 \\ \sqrt{1-x^2} - 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $y=0$.

Из второго уравнения: $\sqrt{1-x^2} = 1 \Rightarrow 1-x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x=0$.

Полученное значение $x=0$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $(0; 0)$.