Номер 10.7, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.7, страница 111.

Условие.

10.7. На координатной плоскости $xy$ постройте график уравнения:

1) $x = \sqrt{y}$;

2) $x = \sqrt{y-1}$;

3) $x = \sqrt{-y}$;

4) $x = \sqrt{|y|}$;

5) $x = \sqrt{|y|+1}$;

6) $|x| = \sqrt{|y|}$;

7) $|x-1| = \sqrt{|y+1|}$;

8) $|x|-1 = \sqrt{|y+1|}$;

9) $|x|-1 = \sqrt{|y|+1}$.

Решение.

1) $x = \sqrt{y}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $y \ge 0$. Также, по определению арифметического квадратного корня, $x \ge 0$.

Чтобы построить график, возведем обе части уравнения в квадрат: $x^2 = (\sqrt{y})^2$, что дает $y = x^2$.

График уравнения $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.

Однако, мы должны учесть условие $x \ge 0$. Таким образом, из всей параболы $y = x^2$ мы берем только ту ее часть, которая находится в первой координатной четверти (и в начале координат), то есть правую ветвь.

Ответ: График представляет собой правую ветвь параболы $y=x^2$, выходящую из начала координат.

2) $x = \sqrt{y-1}$

ОДЗ: $y-1 \ge 0 \implies y \ge 1$. Также $x \ge 0$.

Возведем обе части в квадрат: $x^2 = y-1$, откуда $y = x^2 + 1$.

График уравнения $y = x^2 + 1$ — это парабола, полученная сдвигом параболы $y=x^2$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Ее вершина находится в точке $(0, 1)$.

Учитывая условие $x \ge 0$, мы берем только правую ветвь этой параболы.

Также можно получить этот график, сдвинув график из пункта 1) на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Ответ: График представляет собой правую ветвь параболы $y=x^2+1$, выходящую из точки $(0, 1)$.

3) $x = \sqrt{-y}$

ОДЗ: $-y \ge 0 \implies y \le 0$. Также $x \ge 0$.

Возведем обе части в квадрат: $x^2 = -y$, откуда $y = -x^2$.

График уравнения $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз.

Учитывая условие $x \ge 0$, мы берем только правую ветвь этой параболы, расположенную в четвертой координатной четверти.

Этот график можно также получить, отразив график из пункта 1) симметрично относительно оси Ox.

Ответ: График представляет собой правую ветвь параболы $y=-x^2$, выходящую из начала координат.

4) $x = \sqrt{|y|}$

ОДЗ: $|y| \ge 0$, что верно для любого $y$. Также $x \ge 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $y \ge 0$, то $|y|=y$, и уравнение принимает вид $x = \sqrt{y}$. Это правая ветвь параболы $y=x^2$ (график из пункта 1).

2. Если $y < 0$, то $|y|=-y$, и уравнение принимает вид $x = \sqrt{-y}$. Это правая ветвь параболы $y=-x^2$ (график из пункта 3).

Объединяя оба случая, получаем график, состоящий из двух ветвей, симметричных относительно оси Ox и выходящих из начала координат.

Ответ: График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Ox. Это правая ветвь параболы $y=x^2$ (при $y \ge 0$) и правая ветвь параболы $y=-x^2$ (при $y < 0$). Обе ветви выходят из начала координат.

5) $x = \sqrt{|y|+1}$

ОДЗ: $|y|+1 \ge 0$, что верно для любого $y$. По определению корня $x \ge 0$. Более того, так как $|y|+1 \ge 1$, то $x = \sqrt{|y|+1} \ge \sqrt{1} = 1$. Таким образом, $x \ge 1$.

Возведем обе части в квадрат: $x^2 = |y|+1$, откуда $|y| = x^2-1$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $y \ge 0$, то $y = x^2-1$. Это парабола с вершиной в $(0, -1)$, ветвями вверх. Учитывая $x \ge 1$, мы строим ее правую часть, начиная с точки $(1, 0)$.

2. Если $y < 0$, то $-y = x^2-1$, откуда $y = 1-x^2$. Это парабола с вершиной в $(0, 1)$, ветвями вниз. Учитывая $x \ge 1$, мы строим ее правую часть, начиная с точки $(1, 0)$.

График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Ox, начинающихся в точке $(1,0)$ и уходящих вправо.

Ответ: График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Ox. Они начинаются в точке $(1, 0)$ и расходятся вправо. Верхняя ветвь является частью параболы $y = x^2 - 1$, а нижняя — частью параболы $y = 1 - x^2$.

6) $|x| = \sqrt{|y|}$

Этот график можно получить из графика $x = \sqrt{|y|}$ (пункт 4). Замена $x$ на $|x|$ означает, что мы сохраняем часть графика, где $x \ge 0$ (это весь график из пункта 4), и добавляем ее зеркальное отражение относительно оси Oy.

Возведем уравнение в квадрат: $(|x|)^2 = |y|$, что эквивалентно $x^2 = |y|$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $y \ge 0$, то $x^2=y$, или $y=x^2$. Это полная парабола с ветвями вверх.

2. Если $y < 0$, то $x^2=-y$, или $y=-x^2$. Это полная парабола с ветвями вниз.

Таким образом, график является объединением двух парабол.

Ответ: График представляет собой объединение двух парабол: $y=x^2$ и $y=-x^2$. Обе параболы имеют вершину в начале координат.

7) $|x-1| = \sqrt{|y+1|}$

Сделаем замену переменных: $X = x-1$ и $Y = y+1$. Уравнение примет вид $|X| = \sqrt{|Y|}$. Это уравнение из пункта 6) в координатах $X, Y$. Его график — объединение парабол $Y=X^2$ и $Y=-X^2$.

Теперь вернемся к исходным координатам $x, y$. Замена $X=x-1, Y=y+1$ соответствует параллельному переносу начала координат в точку $(1, -1)$.

Следовательно, искомый график — это график из пункта 6), сдвинутый на 1 единицу вправо по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy. Вершины парабол переместятся в точку $(1, -1)$.

Уравнения парабол в системе $x,y$:
$y+1 = (x-1)^2 \implies y = (x-1)^2 - 1$
$y+1 = -(x-1)^2 \implies y = -(x-1)^2 - 1$

Ответ: График представляет собой объединение двух парабол: $y=(x-1)^2 - 1$ и $y=-(x-1)^2 - 1$. Обе параболы имеют общую вершину в точке $(1, -1)$.

8) $|x|-1 = \sqrt{|y+1|}$

Из уравнения следует, что левая часть должна быть неотрицательной: $|x|-1 \ge 0$, что означает $|x| \ge 1$, то есть $x \ge 1$ или $x \le -1$.

Заметим, что уравнение не меняется при замене $x$ на $-x$, значит, график симметричен относительно оси Oy. Построим его для $x \ge 1$, а затем отразим.

При $x \ge 1$ уравнение имеет вид $x-1 = \sqrt{|y+1|}$. Возведем в квадрат: $(x-1)^2 = |y+1|$.

Раскрываем модуль:

1. Если $y+1 \ge 0$ (т.е. $y \ge -1$), то $y+1 = (x-1)^2 \implies y = (x-1)^2-1$. Строим эту параболу для $x \ge 1$. Это ее правая ветвь, выходящая из вершины $(1, -1)$.

2. Если $y+1 < 0$ (т.е. $y < -1$), то $-(y+1) = (x-1)^2 \implies y = -(x-1)^2-1$. Строим эту параболу для $x \ge 1$. Это ее правая ветвь, выходящая из вершины $(1, -1)$.

Теперь отразим полученные две ветви, выходящие из точки $(1,-1)$, симметрично относительно оси Oy. Получим еще две ветви, выходящие из точки $(-1, -1)$.

Ответ: График состоит из четырех параболических ветвей, симметричных относительно оси Oy. Две ветви выходят из точки $(1, -1)$ и являются частями парабол $y=(x-1)^2-1$ и $y=-(x-1)^2-1$. Две другие ветви выходят из точки $(-1, -1)$ и являются частями парабол $y=(x+1)^2-1$ и $y=-(x+1)^2-1$.

9) $|x|-1 = \sqrt{|y|+1}$

Поскольку $|y| \ge 0$, то $|y|+1 \ge 1$, и $\sqrt{|y|+1} \ge 1$. Следовательно, левая часть уравнения также должна быть не меньше 1: $|x|-1 \ge 1$, откуда $|x| \ge 2$. Таким образом, $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Уравнение не меняется при замене $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$, значит, график симметричен относительно обеих координатных осей.

Построим график для $x \ge 2$ и $y \ge 0$, а затем отразим его. В этой области уравнение принимает вид $x-1 = \sqrt{y+1}$. (Внимание: это неверно, в уравнении $|y|$). При $x \ge 2$ и $y \ge 0$ уравнение имеет вид $x-1 = \sqrt{y+1}$. Нет, это ошибка.Правильно: $|x|-1 = \sqrt{|y|+1}$.

Возведем обе части в квадрат: $(|x|-1)^2 = |y|+1$, откуда $|y| = (|x|-1)^2 - 1$. Построим график для $x \ge 2$. Уравнение принимает вид $|y| = (x-1)^2-1$. Раскроем модуль $y$:1. Если $y \ge 0$: $y = (x-1)^2-1 = x^2-2x$. Это парабола. Для $x \ge 2$ строим ее часть, начиная с точки $(2, 0)$, идущую вверх вправо.2. Если $y < 0$: $-y = (x-1)^2-1 \implies y = 1-(x-1)^2 = -x^2+2x$. Это парабола. Для $x \ge 2$ строим ее часть, начиная с точки $(2, 0)$, идущую вниз вправо.

Итак, для $x \ge 2$ мы имеем две симметричные относительно оси Ox ветви, выходящие из точки $(2, 0)$. Отражая эту часть графика симметрично относительно оси Oy, получаем вторую часть графика для $x \le -2$, которая состоит из двух ветвей, выходящих из точки $(-2, 0)$.

Ответ: График симметричен относительно обеих координатных осей и состоит из четырех параболических ветвей. Две ветви выходят из точки $(2, 0)$ (для $x \ge 2$) и являются частями парабол $y=x^2-2x$ и $y=-(x^2-2x)$. Две другие ветви выходят из точки $(-2, 0)$ (для $x \le -2$) и являются частями парабол $y=x^2+2x$ и $y=-(x^2+2x)$.