Номер 10.12, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.12, страница 111.

Условие.

10.12. Постройте график уравнения:

1) $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 16;$

2) $(x-1)^2 + (4y-2)^2 = 16;$

3) $(|x|-1)^2 + (y-2)^2 = 16;$

4) $(|x|-1)^2 + (|y|-2)^2 = 16.$

Решение.

1) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Это уравнение является стандартным уравнением окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

В данном случае, сравнивая с общей формулой, мы находим:

• Координаты центра окружности: $(x_0, y_0) = (1, 2)$.
• Квадрат радиуса: $R^2 = 16$.
• Радиус: $R = \sqrt{16} = 4$.

Таким образом, график этого уравнения — это окружность с центром в точке (1, 2) и радиусом 4.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $4$.

2) $(x - 1)^2 + (4y - 2)^2 = 16$

Это уравнение является уравнением эллипса. Чтобы построить его график, приведем уравнение к каноническому виду $\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$.

Преобразуем второе слагаемое: $(4y - 2)^2 = (4(y - \frac{1}{2}))^2 = 16(y - \frac{1}{2})^2$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(x - 1)^2 + 16(y - \frac{1}{2})^2 = 16$

Теперь разделим обе части уравнения на 16:

$\frac{(x - 1)^2}{16} + \frac{16(y - \frac{1}{2})^2}{16} = \frac{16}{16}$

$\frac{(x - 1)^2}{4^2} + \frac{(y - 0.5)^2}{1^2} = 1$

Из канонического вида мы можем определить параметры эллипса:

• Координаты центра: $(x_0, y_0) = (1, 0.5)$.
• Горизонтальная полуось: $a = 4$.
• Вертикальная полуось: $b = 1$.

Ответ: Графиком уравнения является эллипс с центром в точке $(1, 0.5)$, горизонтальной полуосью длиной $4$ и вертикальной полуосью длиной $1$.

3) $(|x| - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Наличие модуля $|x|$ указывает на то, что график уравнения будет симметричен относительно оси $Oy$, так как замена $x$ на $-x$ не изменяет уравнение: $(|-x| - 1)^2 = (|x| - 1)^2$.

Для построения графика выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим случай, когда $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и уравнение принимает вид $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$. Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $4$.
2. Строим часть этой окружности, которая находится в правой полуплоскости (где $x \ge 0$).
3. Используя свойство симметрии, отражаем построенную часть графика относительно оси $Oy$. Отраженная часть является частью окружности с центром в точке $(-1, 2)$ и радиусом $4$.

В результате мы получаем график, состоящий из двух дуг окружностей.

Ответ: График состоит из двух дуг окружностей: части окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ при $x \ge 0$ и симметрично отраженной ее части относительно оси $Oy$, которая является частью окружности $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ при $x \le 0$.

4) $(|x| - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16$

Наличие модулей $|x|$ и $|y|$ указывает на то, что график уравнения симметричен относительно обеих координатных осей ($Ox$ и $Oy$), а также относительно начала координат.

Для построения графика выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим случай, когда $x \ge 0$ и $y \ge 0$ (первая координатная четверть). В этом случае $|x| = x$ и $|y| = y$, и уравнение принимает вид $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$. Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $4$.
2. Строим часть этой окружности, которая находится в первой координатной четверти.

3. Используя свойства симметрии, последовательно отражаем построенную дугу:

   • Отражаем относительно оси $Oy$, чтобы получить часть графика во второй четверти. Это будет дуга окружности с центром в $(-1, 2)$.
   • Отражаем исходную дугу из первой четверти относительно оси $Ox$, чтобы получить часть графика в четвертой четверти. Это будет дуга окружности с центром в $(1, -2)$.
   • Отражаем дугу из второй четверти относительно оси $Ox$ (или дугу из четвертой четверти относительно оси $Oy$), чтобы получить часть графика в третьей четверти. Это будет дуга окружности с центром в $(-1, -2)$.

Итоговый график состоит из четырех дуг окружностей, расположенных в каждой из четырех координатных четвертей.

Ответ: График состоит из четырех симметричных дуг окружностей. В первой четверти это часть окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$, во второй — часть окружности $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$, в третьей — часть окружности $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$, и в четвертой — часть окружности $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$.