Номер 10.16, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.16, страница 112.

Условие.

10.16. Постройте график уравнения:

1) $x = \sqrt{1-y^2}$;

2) $|x| = \sqrt{1-y^2}$;

3) $|x + 2| = \sqrt{1-y^2}$;

4) $|x| + 2 = \sqrt{1-y^2}$;

5) $x = \sqrt{4y-y^2}$;

6) $x = \sqrt{4|y|-y^2}$.

Решение.

1) $x = \sqrt{1 - y^2}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - y^2 \ge 0$, что равносильно $y^2 \le 1$, или $-1 \le y \le 1$.
Также из уравнения следует, что $x$ должен быть неотрицательным, так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, то есть $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $x^2 = (\sqrt{1 - y^2})^2$ $x^2 = 1 - y^2$ $x^2 + y^2 = 1$
Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = 1$. Учитывая ограничение $x \ge 0$, мы получаем не всю окружность, а только ее правую половину (правую полуокружность), расположенную в I и IV координатных четвертях.
Ответ: Правая полуокружность окружности $x^2 + y^2 = 1$ с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 1.

2) $|x| = \sqrt{1 - y^2}$
ОДЗ: $1 - y^2 \ge 0$, то есть $-1 \le y \le 1$.
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат без потери равносильности: $(|x|)^2 = (\sqrt{1 - y^2})^2$ $x^2 = 1 - y^2$ $x^2 + y^2 = 1$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = 1$. В отличие от предыдущего пункта, здесь нет ограничения на знак $x$, поэтому решением является вся окружность.
Ответ: Окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 1.

3) $|x + 2| = \sqrt{1 - y^2}$
ОДЗ: $1 - y^2 \ge 0$, то есть $-1 \le y \le 1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $(|x + 2|)^2 = (\sqrt{1 - y^2})^2$ $(x + 2)^2 = 1 - y^2$ $(x + 2)^2 + y^2 = 1$
Это уравнение окружности с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом $R = 1$.
Ответ: Окружность с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом 1.

4) $|x| + 2 = \sqrt{1 - y^2}$
Оценим левую и правую части уравнения. Левая часть: по определению модуля, $|x| \ge 0$. Следовательно, $|x| + 2 \ge 2$. Правая часть: ОДЗ $1 - y^2 \ge 0$, то есть $-1 \le y \le 1$. Для этих значений $y$ имеем $0 \le 1 - y^2 \le 1$, а значит $0 \le \sqrt{1 - y^2} \le 1$.
Получаем, что левая часть уравнения всегда больше или равна 2, а правая часть — меньше или равна 1. Равенство между ними невозможно ни при каких значениях $x$ и $y$. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: Графиком является пустое множество.

5) $x = \sqrt{4y - y^2}$
ОДЗ: $4y - y^2 \ge 0 \implies y(4 - y) \ge 0$. Решая неравенство методом интервалов, получаем $0 \le y \le 4$.
Также из уравнения следует, что $x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат: $x^2 = 4y - y^2$ $x^2 + y^2 - 4y = 0$
Чтобы получить уравнение окружности, выделим полный квадрат для переменной $y$: $x^2 + (y^2 - 4y + 4) - 4 = 0$ $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ $x^2 + (y - 2)^2 = 2^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом $R = 2$. С учетом условия $x \ge 0$, графиком является правая полуокружность этой окружности.
Ответ: Правая полуокружность окружности $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом 2.

6) $x = \sqrt{4|y| - y^2}$
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $y$.
Случай 1: $y \ge 0$. Тогда $|y| = y$, и уравнение принимает вид $x = \sqrt{4y - y^2}$.
Как было показано в пункте 5), это правая полуокружность окружности $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ с центром в $(0, 2)$ и радиусом 2. Эта часть графика полностью удовлетворяет условию $y \ge 0$ (координата $y$ меняется от 0 до 4).
Случай 2: $y < 0$. Тогда $|y| = -y$, и уравнение принимает вид $x = \sqrt{4(-y) - y^2} = \sqrt{-4y - y^2}$.
ОДЗ для этого случая: $-4y - y^2 \ge 0 \implies y^2 + 4y \le 0 \implies y(y + 4) \le 0$, что дает $-4 \le y \le 0$. Учитывая условие $y < 0$, получаем $-4 \le y < 0$. Из уравнения следует, что $x \ge 0$. Возведем в квадрат: $x^2 = -4y - y^2$ $x^2 + y^2 + 4y = 0$
Выделим полный квадрат: $x^2 + (y^2 + 4y + 4) - 4 = 0$ $x^2 + (y + 2)^2 = 4$ $x^2 + (y + 2)^2 = 2^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $R = 2$. Учитывая условие $x \ge 0$, получаем правую полуокружность, которая как раз лежит в области $-4 \le y \le 0$.
Объединяя решения для обоих случаев, получаем график, состоящий из двух правых полуокружностей, симметричных относительно оси Ox.
Ответ: График состоит из двух правых полуокружностей: правой полуокружности окружности $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ (при $y \ge 0$) и правой полуокружности окружности $x^2 + (y + 2)^2 = 4$ (при $y < 0$).