Номер 10.22, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.22, страница 112.

Условие.

10.22. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax + \sqrt{-5 - x^2 - 6x} = 2$ имеет два корня?

Решение.

Перепишем исходное уравнение в виде $\sqrt{-5 - x^2 - 6x} = 2 - ax$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$-5 - x^2 - 6x \ge 0$

$x^2 + 6x + 5 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$.

Так как парабола $y = x^2 + 6x + 5$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется между корнями. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-5, -1]$.

Рассмотрим данное уравнение графически. Для этого введем две функции:

1. $y = \sqrt{-5 - x^2 - 6x}$

2. $y = 2 - ax$

Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих двух функций.

Рассмотрим первую функцию $y = \sqrt{-5 - x^2 - 6x}$. Так как $y \ge 0$, мы можем возвести обе части в квадрат:

$y^2 = -5 - x^2 - 6x$

$x^2 + 6x + 5 + y^2 = 0$

Выделим полный квадрат для $x$:

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + 5 + y^2 = 0$

$(x + 3)^2 + y^2 = 4$

Это уравнение окружности с центром в точке $C(-3, 0)$ и радиусом $R=2$. Учитывая условие $y \ge 0$, график первой функции представляет собой верхнюю полуокружность. Отметим, что концы этой полуокружности находятся в точках $A(-5, 0)$ и $B(-1, 0)$, что в точности соответствует ОДЗ.

Рассмотрим вторую функцию $y = 2 - ax$. Это уравнение представляет собой семейство прямых (пучок прямых), проходящих через одну и ту же точку. Найдем эту точку. При $x=0$, $y = 2$ для любого значения $a$. Следовательно, все прямые этого семейства проходят через точку $P(0, 2)$.

Задача сводится к нахождению таких значений параметра $a$, при которых прямая из семейства $y = 2 - ax$ пересекает верхнюю полуокружность $(x + 3)^2 + y^2 = 4$ ровно в двух точках.

Найдем граничные положения прямой, которые определяют искомый диапазон значений параметра $a$. Эти положения соответствуют прохождению прямой через концы полуокружности $A$ и $B$.

1. Прямая проходит через точку A(-5, 0).

Подставим координаты точки $A$ в уравнение прямой $y = 2 - ax$:

$0 = 2 - a(-5)$

$0 = 2 + 5a$

$5a = -2$

$a = -\frac{2}{5}$

При этом значении $a$ прямая пересекает полуокружность в двух точках: в точке $A(-5, 0)$ и еще в одной точке.

2. Прямая проходит через точку B(-1, 0).

Подставим координаты точки $B$ в уравнение прямой $y = 2 - ax$:

$0 = 2 - a(-1)$

$0 = 2 + a$

$a = -2$

При этом значении $a$ прямая также пересекает полуокружность в двух точках: в точке $B(-1, 0)$ и еще в одной точке.

Угловой коэффициент прямой $y = -ax + 2$ равен $k = -a$.

Для положения, когда прямая проходит через точку $A$, угловой коэффициент $k_A = -a = -(-\frac{2}{5}) = \frac{2}{5}$.

Для положения, когда прямая проходит через точку $B$, угловой коэффициент $k_B = -a = -(-2) = 2$.

Прямая будет иметь две точки пересечения с полуокружностью, если ее угловой коэффициент $k$ будет находиться в диапазоне между $k_A$ и $k_B$, включая сами эти значения.

Таким образом, должно выполняться неравенство:

$k_A \le k \le k_B$

$\frac{2}{5} \le -a \le 2$

Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-2 \le a \le -\frac{2}{5}$

При значениях $a$ из этого промежутка уравнение будет иметь ровно два корня.

Ответ: $a \in [-2; -\frac{2}{5}]$.