Номер 10.20, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.20, страница 112.

Условие.

10.20. Определите количество корней уравнения $(4 - x^2 - a^2)(3a - x^2) = 0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому исходное уравнение $(4 - x^2 - a^2)(3a - x^2) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений:

$4 - x^2 - a^2 = 0 \quad$ или $\quad 3a - x^2 = 0$

Отсюда получаем два уравнения для $x^2$:

$x^2 = 4 - a^2 \quad$ (1)

$x^2 = 3a \quad$ (2)

Количество корней исходного уравнения равно количеству различных действительных корней этих двух уравнений. Для этого необходимо проанализировать, при каких значениях параметра $a$ правые части уравнений (1) и (2) неотрицательны, и учесть возможность совпадения корней.

Корни уравнений (1) и (2) совпадают, если $4 - a^2 = 3a$, то есть $a^2 + 3a - 4 = 0$. Решениями этого квадратного уравнения являются $a = 1$ и $a = -4$.

Рассмотрим все возможные случаи для параметра $a$.

При $a < -2$

В этом случае $4 - a^2 < 0$, поэтому уравнение (1) не имеет действительных корней. Также $3a < 0$, поэтому уравнение (2) также не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

При $a = -2$

Уравнение (1) принимает вид $x^2 = 4 - (-2)^2 = 0$, откуда $x = 0$ (один корень). Уравнение (2) принимает вид $x^2 = 3(-2) = -6$, оно не имеет действительных корней.

Ответ: 1 корень.

При $-2 < a < 0$

Для уравнения (1) имеем $x^2 = 4 - a^2$. Так как $-2 < a < 0$, то $0 < a^2 < 4$, и $0 < 4 - a^2 < 4$. Уравнение (1) имеет два различных корня: $x = \pm\sqrt{4 - a^2}$. Для уравнения (2) имеем $x^2 = 3a < 0$, поэтому оно не имеет действительных корней.

Ответ: 2 корня.

При $a = 0$

Уравнение (1) принимает вид $x^2 = 4 - 0^2 = 4$, откуда $x = \pm 2$ (два корня). Уравнение (2) принимает вид $x^2 = 3 \cdot 0 = 0$, откуда $x = 0$ (один корень). Все три корня ($0, 2, -2$) различны.

Ответ: 3 корня.

При $0 < a < 1$

Уравнение (1) имеет два корня $x = \pm\sqrt{4 - a^2}$, так как $0 < a < 1 \Rightarrow 3 < 4 - a^2 < 4$.
Уравнение (2) имеет два корня $x = \pm\sqrt{3a}$, так как $0 < a < 1 \Rightarrow 0 < 3a < 3$.
Поскольку в этом интервале $a \ne 1$, то $4 - a^2 \ne 3a$, а также $4 - a^2 \ne 0$ и $3a \ne 0$. Следовательно, все четыре корня $\pm\sqrt{4-a^2}$ и $\pm\sqrt{3a}$ различны.

Ответ: 4 корня.

При $a = 1$

Уравнение (1) принимает вид $x^2 = 4 - 1^2 = 3$, откуда $x = \pm\sqrt{3}$ (два корня). Уравнение (2) принимает вид $x^2 = 3 \cdot 1 = 3$, что дает те же самые корни.

Ответ: 2 корня.

При $1 < a < 2$

Уравнение (1) имеет два корня $x = \pm\sqrt{4 - a^2}$, так как $1 < a < 2 \Rightarrow 0 < 4 - a^2 < 3$.
Уравнение (2) имеет два корня $x = \pm\sqrt{3a}$, так как $1 < a < 2 \Rightarrow 3 < 3a < 6$.
Значения $4 - a^2$ и $3a$ различны (равенство достигается только при $a=1$), поэтому все четыре корня различны.

Ответ: 4 корня.

При $a = 2$

Уравнение (1) принимает вид $x^2 = 4 - 2^2 = 0$, откуда $x = 0$ (один корень). Уравнение (2) принимает вид $x^2 = 3 \cdot 2 = 6$, откуда $x = \pm\sqrt{6}$ (два корня). Все три корня ($0, \sqrt{6}, -\sqrt{6}$) различны.

Ответ: 3 корня.

При $a > 2$

Для уравнения (1) имеем $x^2 = 4 - a^2 < 0$, поэтому оно не имеет действительных корней. Для уравнения (2) имеем $x^2 = 3a > 6$, поэтому оно имеет два различных корня $x = \pm\sqrt{3a}$.

Ответ: 2 корня.