Номер 10.27, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.27, страница 113.

Условие.

10.27. Постройте график уравнения $ \{x\} = -\{y\} $.

Решение.

Рассмотрим уравнение $\{x\} = -\{y\}$.

По определению, дробная часть числа $a$, обозначаемая как $\{a\}$, определяется формулой $\{a\} = a - [a]$, где $[a]$ — целая часть числа $a$ (наибольшее целое число, не превосходящее $a$).

Для любого действительного числа $a$ значение его дробной части $\{a\}$ находится в полуинтервале $[0, 1)$, то есть $0 \le \{a\} < 1$.

Проанализируем левую и правую части данного уравнения:

• Левая часть: $\{x\}$. Область значений для этой части: $0 \le \{x\} < 1$.
• Правая часть: $-\{y\}$. Поскольку $0 \le \{y\} < 1$, умножая на -1, получаем $-1 < -\{y\} \le 0$.

Для того чтобы равенство $\{x\} = -\{y\}$ выполнялось, значение обеих частей должно принадлежать пересечению их областей значений. Пересечением полуинтервала $[0, 1)$ и полуинтервала $(-1, 0]$ является единственное число — 0.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений: $$ \begin{cases} \{x\} = 0 \\ -\{y\} = 0 \end{cases} $$ Что эквивалентно: $$ \begin{cases} \{x\} = 0 \\ \{y\} = 0 \end{cases} $$

Дробная часть числа равна нулю тогда и только тогда, когда это число является целым. Таким образом, условие $\{x\} = 0$ означает, что $x$ — любое целое число ($x \in \mathbb{Z}$). Аналогично, условие $\{y\} = 0$ означает, что $y$ — любое целое число ($y \in \mathbb{Z}$).

Итак, график уравнения $\{x\} = -\{y\}$ представляет собой множество всех точек на координатной плоскости, обе координаты которых являются целыми числами. Это множество точек образует целочисленную решетку.

Ответ: Графиком уравнения является множество всех точек $(x, y)$ на плоскости, у которых обе координаты $x$ и $y$ являются целыми числами (целочисленная решетка).