Номер 11.1, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.1, страница 116.

Условие.

11.1. Решите графически систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x + y = 2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = -12; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x = y^2 - 2y, \\ x + y = 2. \end{cases} $

Решение.

1) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x + y = 2 \end{cases} $

Для решения системы графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 4$, — это уравнение окружности. Общий вид уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. В нашем случае, центр окружности находится в начале координат, точке $(0, 0)$, а радиус $R = \sqrt{4} = 2$.

Второе уравнение, $x + y = 2$, — это уравнение прямой. Для его построения найдем две точки. Выразим $y$ через $x$: $y = 2 - x$.
Если $x = 0$, то $y = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
Если $x = 2$, то $y = 0$. Получаем точку $(2, 0)$.
Проведем прямую через эти две точки.

Построив окружность и прямую на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в точках, через которые мы строили прямую. Эти точки также лежат на окружности, так как для точки $(0, 2)$ имеем $0^2 + 2^2 = 4$, а для точки $(2, 0)$ имеем $2^2 + 0^2 = 4$. Таким образом, точки пересечения графиков — это $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Ответ: $(0, 2)$, $(2, 0)$.

2) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = -12 \end{cases} $

Построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 25$, — это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение, $xy = -12$, — это уравнение гиперболы. Выразим $y$ через $x$: $y = -12/x$. Ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях, так как произведение $xy$ отрицательно. Асимптотами являются оси координат.

Построив окружность и гиперболу на одной координатной плоскости, мы ищем их точки пересечения. Можно подобрать несколько целочисленных точек, принадлежащих гиперболе, и проверить, лежат ли они на окружности. Например, точки $(3, -4)$, $(4, -3)$, $(-3, 4)$ и $(-4, 3)$ принадлежат гиперболе. Проверим их для уравнения окружности:
Для $(3, -4)$: $3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$.
Для $(4, -3)$: $4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$.
Для $(-3, 4)$: $(-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
Для $(-4, 3)$: $(-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
Все четыре точки удовлетворяют обоим уравнениям, следовательно, они являются точками пересечения графиков.

Ответ: $(3, -4)$, $(4, -3)$, $(-3, 4)$, $(-4, 3)$.

3) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x = y^2 - 2y \\ x + y = 2 \end{cases} $

Построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $x = y^2 - 2y$, — это уравнение параболы. Так как переменная $y$ находится в квадрате, ветви параболы направлены горизонтально. Для нахождения вершины параболы выделим полный квадрат:
$x = (y^2 - 2y + 1) - 1 = (y - 1)^2 - 1$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, 1)$. Ветви направлены вправо, так как коэффициент при $(y-1)^2$ положителен. Найдем несколько точек для построения: если $y=0$, то $x=0$ (точка $(0,0)$); если $y=2$, то $x=0$ (точка $(0,2)$); если $y=-1$, то $x=3$ (точка $(3,-1)$).

Второе уравнение, $x + y = 2$, — это уравнение прямой. Прямая проходит через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Построив параболу и прямую на координатной плоскости, мы ищем их точки пересечения. Уже при построении видно, что точка $(0, 2)$ является общей для обоих графиков. Также мы нашли точку $(3, -1)$, принадлежащую параболе. Проверим, принадлежит ли она прямой: $x+y=3+(-1)=2$. Принадлежит. Таким образом, точки пересечения графиков — это $(0, 2)$ и $(3, -1)$.

Ответ: $(3, -1)$, $(0, 2)$.