Номер 11.6, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.6, страница 117.

Условие.

11.6. Сколько решений в зависимости от значения параметра $a$ имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ |y| = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = a - |x|; \end{cases}$

3) $\begin{cases} |x| + |y| = 1, \\ x^2 + y^2 = a? \end{cases}$

Решение.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ |y| = 1. \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $y=1$ или $y=-1$. Подставим эти значения в первое уравнение.

При $y=1$ и при $y=-1$ получаем одно и то же уравнение для $x$:

$x^2 + (\pm1)^2 = a$

$x^2 + 1 = a$

$x^2 = a - 1$

Теперь проанализируем количество решений этого квадратного уравнения в зависимости от значения $a-1$.

• Если $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$, уравнение $x^2 = a - 1$ не имеет действительных корней. Следовательно, и вся система не имеет решений.
• Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, уравнение имеет один корень $x=0$. В этом случае система имеет два решения: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.
• Если $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$, уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{a-1}$ и $x = -\sqrt{a-1}$. Каждому из этих значений $x$ соответствуют два значения $y$ ($1$ и $-1$). Таким образом, система имеет четыре решения: $(\sqrt{a-1}, 1)$, $(-\sqrt{a-1}, 1)$, $(\sqrt{a-1}, -1)$ и $(-\sqrt{a-1}, -1)$.

Ответ: если $a < 1$, то решений нет; если $a = 1$, то 2 решения; если $a > 1$, то 4 решения.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = a - |x|. \end{cases} $

Решим эту задачу графически. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=3$.

Второе уравнение $y = a - |x|$ задает семейство "уголков", ветви которых направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, a)$.

Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и "уголка".

• Если вершина "уголка" $(0, a)$ находится значительно выше или ниже окружности, пересечений нет. Это происходит при $a < -3$ (вершина ниже точки $(0, -3)$) и при $a > 3\sqrt{2}$ (касание происходит при $a = 3\sqrt{2}$). В этих случаях решений нет.
• При $a = -3$ вершина "уголка" находится в точке $(0, -3)$, которая является точкой касания с окружностью. Система имеет одно решение.
• При $-3 < a < 3$ вершина "уголка" $(0, a)$ находится внутри окружности. Каждая из двух ветвей "уголка" пересекает окружность в одной точке. Система имеет два решения.
• При $a = 3$ вершина "уголка" находится в верхней точке окружности $(0, 3)$. Ветви "уголка" проходят через точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$ на оси $x$, которые также лежат на окружности. Система имеет три решения: $(0, 3)$, $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.
• Найдем значение $a$, при котором ветви "уголка" касаются окружности. Расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $y = a-x$ (или $x+y-a=0$) должно быть равно радиусу $R=3$. Расстояние вычисляется по формуле $d = \frac{|a|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$. Приравнивая радиусу, получаем $\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 3$, откуда $|a| = 3\sqrt{2}$. Так как касание происходит в верхней части окружности, $a = 3\sqrt{2}$. При этом значении $a$ система имеет две точки касания, то есть 2 решения.
• При $3 < a < 3\sqrt{2}$ "уголок" пересекает окружность в четырех точках.

Ответ: если $a < -3$ или $a > 3\sqrt{2}$, то решений нет; если $a = -3$, то 1 решение; если $a \in (-3, 3) \cup \{3\sqrt{2}\}$, то 2 решения; если $a = 3$, то 3 решения; если $a \in (3, 3\sqrt{2})$, то 4 решения.

3)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} |x| + |y| = 1, \\ x^2 + y^2 = a^2. \end{cases} $

Решим задачу графически. Первое уравнение $|x| + |y| = 1$ задает на координатной плоскости квадрат с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

Второе уравнение $x^2 + y^2 = a^2$ задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{a^2} = |a|$.

Количество решений системы равно числу точек пересечения квадрата и окружности.

Найдем ключевые значения для радиуса $R = |a|$.

• Окружность вписана в квадрат. В этом случае она касается сторон квадрата. Расстояние от центра $(0, 0)$ до стороны, заданной, например, уравнением $x+y-1=0$ (в первом квадранте), равно радиусу $R_{min} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Это соответствует $|a| = \frac{1}{\sqrt{2}}$. В этом случае будет 4 точки касания.
• Окружность описана около квадрата. В этом случае она проходит через вершины квадрата. Расстояние от центра $(0, 0)$ до любой вершины (например, $(1, 0)$) равно радиусу $R_{max} = \sqrt{1^2+0^2} = 1$. Это соответствует $|a|=1$. В этом случае будет 4 точки пересечения (вершины квадрата).

Проанализируем количество решений в зависимости от $|a|$:

• Если радиус окружности $R=|a|$ меньше радиуса вписанной окружности ($|a| < \frac{1}{\sqrt{2}}$) или больше радиуса описанной окружности ($|a| > 1$), то пересечений нет.
• Если $|a| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (окружность вписана), то имеется 4 точки касания.
• Если $\frac{1}{\sqrt{2}} < |a| < 1$, окружность пересекает каждую из четырех сторон квадрата в двух точках. Всего $4 \times 2 = 8$ точек пересечения.
• Если $|a| = 1$ (окружность описана), то она проходит через 4 вершины квадрата.

Ответ: если $|a| < \frac{1}{\sqrt{2}}$ или $|a| > 1$, то решений нет; если $|a| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ или $|a|=1$, то 4 решения; если $\frac{1}{\sqrt{2}} < |a| < 1$, то 8 решений.