Номер 11.8, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.8, страница 117.

Условие.

11.8. Докажите, что система уравнений $\begin{cases} ax + (a - 1)y = 2a, \\ 3(a + 2)x + (4a + 1)y = a + 5 \end{cases}$ имеет единственное решение при всех значениях параметра $a$.

Решение.

Данная система является системой двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$: $ \begin{cases} ax + (a - 1)y = 2a \\ 3(a + 2)x + (4a + 1)y = a + 5 \end{cases} $

Система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель (детерминант), составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю.

Вычислим главный определитель $\Delta$ данной системы: $ \Delta = \begin{vmatrix} a & a-1 \\ 3(a+2) & 4a+1 \end{vmatrix} = a(4a+1) - (a-1) \cdot 3(a+2) $

Упростим полученное выражение: $ \Delta = a(4a + 1) - 3(a - 1)(a + 2) $
$ \Delta = (4a^2 + a) - 3(a^2 + 2a - a - 2) $
$ \Delta = 4a^2 + a - 3(a^2 + a - 2) $
$ \Delta = 4a^2 + a - 3a^2 - 3a + 6 $
$ \Delta = a^2 - 2a + 6 $

Теперь необходимо доказать, что выражение $a^2 - 2a + 6$ не равно нулю ни при каких действительных значениях параметра $a$. Для этого исследуем квадратичную функцию $f(a) = a^2 - 2a + 6$.

Способ 1: через дискриминант.
Найдем дискриминант $D$ квадратного трехчлена $a^2 - 2a + 6$: $ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20 $
Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $a^2 - 2a + 6 = 0$ не имеет действительных корней. Графиком функции $f(a) = a^2 - 2a + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $a^2$ положителен). Так как парабола не пересекает ось абсцисс, значения функции всегда положительны. Следовательно, $\Delta = a^2 - 2a + 6 > 0$ при всех $a$.

Способ 2: выделение полного квадрата.
$ a^2 - 2a + 6 = (a^2 - 2a + 1) + 5 = (a - 1)^2 + 5 $
Выражение $(a - 1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(a - 1)^2 \ge 0$ для любого действительного $a$. Тогда наименьшее значение выражения $(a - 1)^2 + 5$ равно $0 + 5 = 5$, которое достигается при $a=1$. Таким образом, $\Delta = (a - 1)^2 + 5 \ge 5$, а значит, $\Delta$ всегда положителен и никогда не равен нулю.

Так как главный определитель системы $\Delta$ не равен нулю ни при каком значении параметра $a$, система уравнений имеет единственное решение при всех значениях $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Главный определитель системы равен $\Delta = a^2 - 2a + 6$. Так как дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен ($D = -20 < 0$) и его старший коэффициент положителен ($1 > 0$), то $\Delta > 0$ при всех действительных значениях $a$. Поскольку определитель системы никогда не равен нулю, система имеет единственное решение при всех значениях параметра $a$.