Номер 11.5, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.5, страница 117.

Условие.

11.5. Сколько решений в зависимости от значения параметра $a$ имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} y = |x|, \\ x^2 + y = a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} |x| + |y| = a, \\ x^2 + y^2 = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + a \end{cases}$?

Решение.

1)

Рассмотрим данную систему уравнений: $ \begin{cases} y = |x|, \\ x^2 + y = a \end{cases} $

Подставим первое уравнение во второе, чтобы исключить переменную $y$: $x^2 + |x| = a$.

Решим это уравнение относительно $x$. Пусть $f(x) = x^2 + |x|$. Нам нужно найти количество корней уравнения $f(x) = a$ в зависимости от параметра $a$. Функция $f(x)$ является чётной, так как $f(-x) = (-x)^2 + |-x| = x^2 + |x| = f(x)$. Найдем наименьшее значение функции. При $x \ge 0$, $f(x) = x^2 + x$. Эта функция возрастает. При $x < 0$, $f(x) = x^2 - x$. Эта функция убывает. Следовательно, в точке $x=0$ функция достигает своего минимума: $f(0) = 0^2 + |0| = 0$.

Проанализируем количество решений уравнения $f(x)=a$:

• Если $a < 0$, уравнение не имеет решений, так как наименьшее значение $f(x)$ равно 0, и $f(x)$ не может быть отрицательным.
• Если $a = 0$, уравнение $x^2 + |x| = 0$ имеет единственный корень $x=0$. Соответственно, $y=|0|=0$. Система имеет одно решение $(0,0)$.
• Если $a > 0$, уравнение имеет два корня. Так как функция $f(x)$ возрастает от 0 до $+\infty$ на промежутке $[0, +\infty)$, она принимает каждое значение $a > 0$ ровно один раз. В силу чётности функции, будет существовать и второй, симметричный отрицательный корень. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: при $a < 0$ — нет решений; при $a = 0$ — одно решение; при $a > 0$ — два решения.

2)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} |x| + |y| = a, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $

Решим задачу графически. Уравнение $x^2 + y^2 = 1$ задает на плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом $R=1$. Уравнение $|x| + |y| = a$ при $a>0$ задает квадрат с вершинами в точках $(a, 0)$, $(0, a)$, $(-a, 0)$, $(0, -a)$. При $a \le 0$ уравнение имеет единственное решение $(0,0)$ (при $a=0$) или не имеет решений (при $a<0$), которые не лежат на окружности. Таким образом, мы можем считать, что $a > 0$.

Количество решений системы — это количество точек пересечения окружности и квадрата.

• Вершины квадрата $( \pm a, 0)$ и $(0, \pm a)$ находятся на расстоянии $a$ от центра. Эти точки лежат на окружности, если $a=1$.
• Стороны квадрата (например, $x+y=a$ в первой четверти) находятся на расстоянии $\frac{|a|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ от центра. Квадрат будет касаться окружности, если это расстояние равно радиусу, то есть $\frac{a}{\sqrt{2}} = 1$, откуда $a = \sqrt{2}$.

Рассмотрим различные значения $a > 0$:

• Если $0 < a < 1$, то вершины квадрата находятся внутри окружности ($a<1$), а его стороны ещё ближе к центру. Весь квадрат лежит внутри окружности, и пересечений нет. 0 решений.
• Если $a = 1$, вершины квадрата лежат на окружности в точках $(\pm 1, 0)$ и $(0, \pm 1)$. Это и есть точки пересечения. 4 решения.
• Если $1 < a < \sqrt{2}$, вершины квадрата находятся вне окружности ($a>1$), но его стороны пересекают её, так как расстояние до сторон от центра меньше радиуса ($\frac{a}{\sqrt{2}} < 1$). Каждая из четырех сторон квадрата пересекает окружность в двух точках. Всего $4 \times 2 = 8$ решений.
• Если $a = \sqrt{2}$, квадрат описан вокруг окружности и касается её в четырех точках $(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm \frac{1}{\sqrt{2}})$. 4 решения.
• Если $a > \sqrt{2}$, квадрат полностью содержит окружность, и точек пересечения нет. 0 решений.

Объединяя случаи, включая $a \le 0$:

Ответ: при $a < 1$ или $a > \sqrt{2}$ — нет решений; при $a = 1$ или $a = \sqrt{2}$ — 4 решения; при $1 < a < \sqrt{2}$ — 8 решений.

3)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + a \end{cases} $

Графически первое уравнение — это окружность с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=2$. Второе уравнение — семейство парабол $y = x^2 + a$ с вершиной в точке $(0, a)$ и ветвями вверх.

Выразим $x^2$ из второго уравнения: $x^2 = y - a$ (при условии $y \ge a$). Подставим в первое уравнение: $(y - a) + y^2 = 4$ $y^2 + y - (a+4) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Количество решений системы зависит от количества действительных корней этого уравнения, которые удовлетворяют условиям: 1. $-2 \le y \le 2$ (координата $y$ должна принадлежать окружности) 2. $y \ge a$ (координата $y$ должна принадлежать параболе)

Дискриминант квадратного уравнения для $y$: $D = 1^2 - 4(1)(-(a+4)) = 1 + 4a + 16 = 4a + 17$. Уравнение имеет действительные корни при $D \ge 0$, то есть $4a + 17 \ge 0$, или $a \ge -17/4$.

Проанализируем ключевые значения параметра $a$:

• При $a > 2$: вершина параболы $(0,a)$ находится выше верхней точки окружности $(0,2)$. Пересечений нет. 0 решений.
• При $a = 2$: вершина параболы совпадает с верхней точкой окружности. Касание в точке $(0,2)$. 1 решение.
• При $-2 < a < 2$: Уравнение $y^2 + y - (a+4) = 0$ имеет два корня, но только один из них, $y = \frac{-1+\sqrt{17+4a}}{2}$, лежит в интервале $[-2, 2]$. Для этого значения $y$ условие $y > a$ выполняется. Так как $y \ne a$, то $x^2 = y-a > 0$, что дает два симметричных значения $x$. 2 решения.
• При $a = -2$: вершина параболы совпадает с нижней точкой окружности $(0,-2)$. Уравнение для $y$: $y^2+y-2=0$, корни $y=1$ и $y=-2$. - Для $y=1$: $x^2 = 1 - (-2) = 3 \Rightarrow x = \pm\sqrt{3}$. Это две точки. - Для $y=-2$: $x^2 = -2 - (-2) = 0 \Rightarrow x = 0$. Это одна точка $(0,-2)$. Всего 3 решения.
• При $-17/4 < a < -2$: Уравнение для $y$ имеет два различных корня, и оба лежат в интервале $(-2, 2)$. Для каждого из этих значений $y$ выполняется $y>a$, поэтому $x^2=y-a > 0$. Каждое значение $y$ дает два значения $x$. Всего 4 решения.
• При $a = -17/4$: Дискриминант $D = 0$. Уравнение для $y$ имеет один корень $y = -1/2$. $x^2 = y-a = -1/2 - (-17/4) = 15/4 > 0$, что дает $x = \pm\sqrt{15}/2$. Парабола касается окружности в двух симметричных точках. 2 решения.
• При $a < -17/4$: Дискриминант $D < 0$, действительных решений для $y$ нет. 0 решений.

Ответ: при $a < -17/4$ или $a > 2$ — нет решений; при $a = 2$ — 1 решение; при $a = -17/4$ или $-2 < a < 2$ — 2 решения; при $a = -2$ — 3 решения; при $-17/4 < a < -2$ — 4 решения.