Номер 11.3, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.3, страница 116.

Условие.

11.3. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 3, \\ y = x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 2 - x^2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ x - y = 2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y = x^2 - 3, \\ y = 6 - x^2; \end{cases}$

5) $\begin{cases} xy = -6, \\ 2x - y = 3; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 - 4x + y = -1, \\ xy = 4; \end{cases}$

7) $\begin{cases} x = y^2 - 4y, \\ y = x^2 - 4x; \end{cases}$

8) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 4x - 6y = 3, \\ x^2 + y^2 + 6x + 2y = -1; \end{cases}$

9) $\begin{cases} |x| + |y| = 1, \\ x = y^2 - 1. \end{cases}$

Решение.

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 3, \\ y = x. \end{cases} $
Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 3$, задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{3}$.
Второе уравнение, $y = x$, задает прямую, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через центр окружности (0, 0).
Прямая, проходящая через центр окружности, всегда пересекает ее в двух диаметрально противоположных точках. Следовательно, система имеет два решения.
Ответ: 2.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = 2 - x^2. \end{cases} $
Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 4$, задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = 2$.
Второе уравнение, $y = 2 - x^2$, задает параболу, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке (0, 2).
Вершина параболы (0, 2) лежит на окружности, так как $0^2 + 2^2 = 4$. Это одна точка пересечения.
Парабола симметрична относительно оси Oy. Поскольку она "входит" в окружность в своей вершине, ее ветви пересекут окружность еще в двух точках, симметричных относительно оси Oy.
Таким образом, графики пересекаются в трех точках.
Ответ: 3.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ x - y = 2. \end{cases} $
Первое уравнение, $y = \sqrt{x}$, задает верхнюю ветвь параболы, открывающейся вправо, с вершиной в точке (0, 0). График расположен в первой координатной четверти.
Второе уравнение можно переписать в виде $y = x - 2$. Это прямая с угловым коэффициентом 1, пересекающая ось Oy в точке (0, -2) и ось Ox в точке (2, 0).
Графики пересекаются в одной точке в первой четверти. При $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Для прямой: $y = 4-2=2$. Точка (4, 2) является единственным решением.
Ответ: 1.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = x^2 - 3, \\ y = 6 - x^2. \end{cases} $
Первое уравнение, $y = x^2 - 3$, задает параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке (0, -3).
Второе уравнение, $y = 6 - x^2$, задает параболу с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке (0, 6).
Обе параболы симметричны относительно оси Oy. Одна парабола открывается вверх, другая — вниз. Их вершины находятся по разные стороны от оси Ox. Следовательно, их ветви обязательно пересекутся. Из-за симметрии относительно оси Oy будет две точки пересечения.
Ответ: 2.

5) Дана система уравнений: $ \begin{cases} xy = -6, \\ 2x - y = 3. \end{cases} $
Первое уравнение, $xy = -6$ или $y = -6/x$, задает гиперболу, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.
Второе уравнение, $y = 2x - 3$, задает прямую, которая пересекает ось Oy в точке (0, -3) и ось Ox в точке (1.5, 0).
Прямая проходит через первую, третью и четвертую четверти. Ветвь гиперболы в четвертой четверти лежит "ниже" прямой. Например, при $x=1$, на прямой $y=-1$, а на гиперболе $y=-6$. При $x=3$, на прямой $y=3$, а на гиперболе $y=-2$. Прямая не пересекает ветви гиперболы. Это можно проверить аналитически: подставив $y = 2x - 3$ в первое уравнение, получим $x(2x-3) = -6$, или $2x^2 - 3x + 6 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 - 48 = -39 < 0$, что означает отсутствие действительных корней.
Графики не пересекаются.
Ответ: 0.

6) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 4x + y = -1, \\ xy = 4. \end{cases} $
Первое уравнение можно переписать в виде $y = -x^2 + 4x - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Ее вершина находится в точке (2, 3).
Второе уравнение, $y = 4/x$, задает гиперболу с ветвями в первой и третьей четвертях.
В первой четверти ($x>0$) парабола и гипербола пересекаются в двух точках. В точке $x=2$ парабола находится выше ($y=3$), чем гипербола ($y=2$). При $x \to 0^+$ гипербола уходит в $+\infty$, а парабола стремится к -1, значит, есть точка пересечения при $0 < x < 2$. При $x \to +\infty$ парабола уходит в $-\infty$, а гипербола стремится к 0, значит, есть вторая точка пересечения при $x > 2$.
В третьей четверти ($x<0$) ветвь гиперболы находится в отрицательной области. Парабола также пересекает отрицательную полуось $y$. Поэтому возможно еще одно пересечение.
Всего графики пересекаются в трех точках.
Ответ: 3.

7) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x = y^2 - 4y, \\ y = x^2 - 4x. \end{cases} $
Первое уравнение, $x = (y-2)^2 - 4$, — парабола с горизонтальной осью симметрии, ветвями вправо и вершиной в точке (-4, 2).
Второе уравнение, $y = (x-2)^2 - 4$, — парабола с вертикальной осью симметрии, ветвями вверх и вершиной в точке (2, -4).
Графики этих функций симметричны относительно прямой $y=x$. Точки пересечения либо лежат на этой прямой, либо существуют парами, симметричными относительно нее.
Найдем точки пересечения с прямой $y=x$, подставив $y=x$ во второе уравнение: $x = x^2 - 4x \Rightarrow x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x-5)=0$. Получаем две точки: (0, 0) и (5, 5).
Кроме того, существуют еще две точки пересечения, симметричные друг другу относительно прямой $y=x$. Это можно показать, вычтя одно уравнение из другого, что приводит к условию $(x-y)(x+y-3)=0$. Случай $x+y=3$ дает еще два решения.
Всего имеется четыре точки пересечения.
Ответ: 4.

8) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 4x - 6y = 3, \\ x^2 + y^2 + 6x + 2y = -1. \end{cases} $
Оба уравнения задают окружности. Приведем их к каноническому виду, выделив полные квадраты.
Первое уравнение: $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 3 + 4 + 9 \Rightarrow (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$. Это окружность с центром $C_1(2, 3)$ и радиусом $R_1 = 4$.
Второе уравнение: $(x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) = -1 + 9 + 1 \Rightarrow (x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 9$. Это окружность с центром $C_2(-3, -1)$ и радиусом $R_2 = 3$.
Найдем расстояние $d$ между центрами: $d = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.
Сравним расстояние между центрами с суммой и разностью радиусов:
Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 4 + 3 = 7$.
Разность радиусов: $|R_1 - R_2| = |4 - 3| = 1$.
Поскольку $1 < \sqrt{41} < 7$ (т.к. $1 < 41 < 49$), выполняется условие $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$. Это означает, что окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: 2.

9) Дана система уравнений: $ \begin{cases} |x| + |y| = 1, \\ x = y^2 - 1. \end{cases} $
Первое уравнение, $|x| + |y| = 1$, задает квадрат с вершинами в точках (1, 0), (0, 1), (-1, 0) и (0, -1).
Второе уравнение, $x = y^2 - 1$, задает параболу с ветвями, направленными вправо, и вершиной в точке (-1, 0).
Проверим, проходят ли графики через одни и те же точки.
Вершина параболы (-1, 0) также является вершиной квадрата, так как $|-1| + |0| = 1$. Это первая точка пересечения.
Найдем точки пересечения параболы с осью Oy, подставив $x=0$: $0 = y^2 - 1 \Rightarrow y = \pm 1$. Точки (0, 1) и (0, -1) принадлежат параболе. Эти точки также являются вершинами квадрата, так как $|0| + |1| = 1$ и $|0| + |-1| = 1$. Это еще две точки пересечения.
Таким образом, парабола проходит через три вершины квадрата. Других точек пересечения нет, так как парабола "выходит" из квадрата в точках (0, 1) и (0, -1) и ее ветви удаляются от сторон квадрата.
Ответ: 3.