Номер 10.30, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.30, страница 113.

Условие.

10.30. Упростите выражение $\sqrt{2x - 2\sqrt{x^2 - 4}}$, если $x > 2$.

Решение.

Для упрощения выражения $\sqrt{2x - 2\sqrt{x^2 - 4}}$ представим подкоренное выражение $2x - 2\sqrt{x^2 - 4}$ в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для этого нам нужно найти такие $a$ и $b$, чтобы выполнялись условия:
1) $a^2 + b^2 = 2x$
2) $2ab = 2\sqrt{x^2 - 4}$

Из второго уравнения получаем $ab = \sqrt{x^2 - 4}$. Возведя обе части в квадрат, имеем $a^2b^2 = x^2 - 4$. Пусть $u = a^2$ и $v = b^2$. Тогда наша система уравнений примет вид:
$u + v = 2x$
$uv = x^2 - 4$

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (u+v)t + uv = 0$. Подставим в него наши выражения:$t^2 - 2xt + (x^2 - 4) = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$, используя формулу для нахождения корней:$D = (-2x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (x^2 - 4) = 4x^2 - 4x^2 + 16 = 16$.$t_{1,2} = \frac{-(-2x) \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2x \pm 4}{2}$.

Таким образом, корни уравнения:$t_1 = \frac{2x+4}{2} = x+2$
$t_2 = \frac{2x-4}{2} = x-2$

Значит, $a^2 = x+2$ и $b^2 = x-2$. Отсюда $a = \sqrt{x+2}$ и $b = \sqrt{x-2}$. По условию задачи $x > 2$, следовательно, подкоренные выражения $x+2$ и $x-2$ положительны, и корни являются действительными числами.

Теперь мы можем записать исходное подкоренное выражение в виде полного квадрата:$2x - 2\sqrt{x^2 - 4} = (\sqrt{x+2})^2 - 2\sqrt{x+2}\sqrt{x-2} + (\sqrt{x-2})^2 = (\sqrt{x+2} - \sqrt{x-2})^2$.

Тогда исходное выражение преобразуется к виду:$\sqrt{(\sqrt{x+2} - \sqrt{x-2})^2}$.

Используя свойство $\sqrt{y^2} = |y|$, получаем:$|\sqrt{x+2} - \sqrt{x-2}|$.

Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения внутри него. По условию $x > 2$. Сравним $x+2$ и $x-2$. Очевидно, что $x+2 > x-2$. Так как обе части неравенства положительны, можно извлечь из них квадратный корень, сохранив знак неравенства: $\sqrt{x+2} > \sqrt{x-2}$. Следовательно, разность $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-2}$ положительна.

Это означает, что модуль можно раскрыть со знаком плюс:$|\sqrt{x+2} - \sqrt{x-2}| = \sqrt{x+2} - \sqrt{x-2}$.

Ответ: $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-2}$.