Номер 11.4, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.4, страница 116.

Условие.

11.4. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases}y = (x-5)^2 \\xy = 5;\end{cases}$

2) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 1 \\y - x = 3;\end{cases}$

3) $\begin{cases}y - x^2 = 1 \\x^2 + y = 4x;\end{cases}$

4) $\begin{cases}x^2 + y^2 = 6 \\xy = 1;\end{cases}$

5) $\begin{cases}xy = 1 \\x^2 + y^2 - 4x - 4y = 1;\end{cases}$

6) $\begin{cases}|x+1| + |y| = 1 \\x + y^2 + 1 = 0.\end{cases}$

Решение.

1)

Первое уравнение, $y = (x-5)^2$, задает параболу с вершиной в точке $(5, 0)$, ветви которой направлены вверх. Второе уравнение, $xy=5$ или $y = 5/x$, задает гиперболу, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах.

Поскольку для параболы $y \ge 0$, пересечения возможны только с ветвью гиперболы в первом квадранте, где $x>0$ и $y>0$. Парабола касается оси абсцисс в точке $(5,0)$. Гипербола в этой точке имеет значение $y=5/5=1$. При $x \to +\infty$ парабола растет как $x^2$, а гипербола стремится к нулю, значит, при достаточно больших $x$ парабола будет выше гиперболы. Между $x=5$ и $x=6$ парабола "догоняет" гиперболу, и они пересекаются. При $x<5$ обе функции убывают. Анализ показывает, что парабола пересекает гиперболу еще в двух точках. Таким образом, графики пересекаются в трех точках.

Ответ: 3

2)

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 1$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r=1$. Второе уравнение, $y - x = 3$ или $y=x+3$, задает прямую.

Чтобы определить количество решений, найдем расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $x-y+3=0$. Оно равно $d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$. Поскольку $d = \frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2.12$, что больше радиуса $r=1$, прямая не пересекает окружность. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: 0

3)

Первое уравнение, $y - x^2 = 1$ или $y=x^2+1$, задает параболу с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вверх. Второе уравнение, $x^2 + y = 4x$ или $y=-x^2+4x$, также задает параболу. Выделив полный квадрат, получим $y = -(x^2-4x+4)+4 = -(x-2)^2+4$. Это парабола с вершиной в точке $(2, 4)$, ветви которой направлены вниз.

Вершина первой параболы $(0,1)$ находится ниже вершины второй параболы $(2,4)$, а их ветви направлены в противоположные стороны. Это означает, что графики обязательно пересекутся. Так как это две параболы, они могут пересечься не более чем в двух точках. Графики этих функций пересекаются в двух точках.

Ответ: 2

4)

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 6$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r=\sqrt{6}$. Второе уравнение, $xy = 1$, задает гиперболу, ветви которой расположены в первом и третьем квадрантах.

Оба графика симметричны относительно начала координат. Рассмотрим пересечение в первом квадранте. Ближайшая к началу координат точка гиперболы - это $(1, 1)$. Расстояние от этой точки до центра окружности равно $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Поскольку $\sqrt{2} < \sqrt{6}$, эта точка лежит внутри окружности. Ветви гиперболы уходят на бесконечность, следовательно, они должны пересечь окружность, чтобы выйти за ее пределы. В первом квадранте будет две точки пересечения. В силу симметрии, в третьем квадранте также будет две точки пересечения. Всего система имеет четыре решения.

Ответ: 4

5)

Первое уравнение, $xy=1$, задает гиперболу с ветвями в первом и третьем квадрантах. Второе уравнение, $x^2 + y^2 - 4x - 4y = 1$, можно преобразовать к виду $(x^2-4x+4) + (y^2-4y+4) = 1+4+4$, то есть $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 9$. Это окружность с центром в точке $(2, 2)$ и радиусом $r=3$.

Центр окружности находится в первом квадранте. Расстояние от центра $(2,2)$ до любой точки на ветви гиперболы в третьем квадранте ($x<0, y<0$) будет больше, чем радиус 3, поэтому пересечений в третьем квадранте нет. В первом квадранте точка $(1,1)$ гиперболы лежит внутри окружности, так как расстояние от нее до центра $(2,2)$ равно $\sqrt{(2-1)^2+(2-1)^2} = \sqrt{2} < 3$. Ветвь гиперболы начинается "вне" окружности (при малых или больших $x$), проходит "внутри" и снова уходит "наружу", следовательно, она пересекает окружность в двух точках.

Ответ: 2

6)

Первое уравнение, $|x+1|+|y|=1$, задает квадрат с вершинами в точках $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(-1, -1)$ и $(-2, 0)$. Второе уравнение, $x + y^2 + 1 = 0$ или $x = -y^2-1$, задает параболу с вершиной в точке $(-1, 0)$, ветви которой направлены влево.

Вершина параболы $(-1, 0)$ находится внутри квадрата. Парабола симметрична относительно оси $Ox$. Ветви параболы, выходя из вершины, направлены влево и пересекают левые стороны квадрата. Верхняя ветвь параболы пересекает сторону, соединяющую вершины $(-1,1)$ и $(-2,0)$. Нижняя ветвь параболы, в силу симметрии, пересекает сторону, соединяющую вершины $(-1,-1)$ и $(-2,0)$. С правыми сторонами квадрата пересечений нет. Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2