Номер 11.10, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.10, страница 117.

Условие.

11.10. При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$$\begin{cases}(a-2)x + 27y = 4,5, \\2x + (a+1)y = -1\end{cases}$$

имеет бесконечно много решений?

Решение.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными вида:

$A_1x + B_1y = C_1$

$A_2x + B_2y = C_2$

имеет бесконечно много решений в том и только в том случае, когда коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены пропорциональны. Это означает, что одно уравнение можно получить из другого умножением на некоторое число, а геометрически — графики уравнений (прямые) совпадают.

Условие пропорциональности коэффициентов записывается в виде:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

Для данной системы:

$(a-2)x + 27y = 4,5$

$2x + (a+1)y = -1$

коэффициенты равны:

$A_1 = a-2$, $B_1 = 27$, $C_1 = 4,5$

$A_2 = 2$, $B_2 = a+1$, $C_2 = -1$

Подставим эти значения в условие пропорциональности:

$\frac{a-2}{2} = \frac{27}{a+1} = \frac{4,5}{-1}$

Чтобы найти значение параметра $a$, нужно решить эту систему равенств. Удобнее всего начать с равенства второго и третьего отношений, так как оно приводит к линейному уравнению относительно $a$:

$\frac{27}{a+1} = \frac{4,5}{-1}$

$\frac{27}{a+1} = -4,5$

Предполагая, что $a+1 \ne 0$ (т.е. $a \ne -1$), умножим обе части на $(a+1)$:

$27 = -4,5 \cdot (a+1)$

$27 = -4,5a - 4,5$

Перенесем слагаемые:

$27 + 4,5 = -4,5a$

$31,5 = -4,5a$

$a = \frac{31,5}{-4,5}$

$a = -\frac{315}{45}$

Разделив числитель и знаменатель на 9, получим:

$a = -\frac{35}{5} = -7$

Мы нашли единственное возможное значение $a = -7$. Теперь необходимо проверить, выполняется ли при этом значении и первая часть пропорции, то есть равенство $\frac{a-2}{2} = \frac{4,5}{-1}$.

Подставим $a = -7$ в левую часть:

$\frac{-7-2}{2} = \frac{-9}{2} = -4,5$

Правая часть равна:

$\frac{4,5}{-1} = -4,5$

Так как $-4,5 = -4,5$, равенство выполняется. Таким образом, при $a = -7$ все три отношения в пропорции равны, и система уравнений имеет бесконечно много решений.

Ответ: $a = -7$.