Номер 11.14, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.14, страница 118.

Условие.

11.14. Определите, при каких значениях параметра $a$ система уравнений $\begin{cases} (y-x)^2 = 4, \\ x^2 + y^2 = 3 - a \end{cases}$ имеет ровно два решения.

Решение.

Рассмотрим данную систему уравнений:

$\begin{cases}(y - x)^2 = 4, \\x^2 + y^2 = 3 - a\end{cases}$

Решим задачу, используя графический метод. Каждое уравнение системы представляет собой геометрическое место точек на координатной плоскости $Oxy$.

Первое уравнение $(y - x)^2 = 4$ равносильно совокупности двух линейных уравнений:

$y - x = 2$ или $y - x = -2$.

Это уравнения двух параллельных прямых: $l_1: y = x + 2$ и $l_2: y = x - 2$.

Второе уравнение $x^2 + y^2 = 3 - a$ является уравнением окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$, квадрат которого равен $R^2 = 3 - a$. Для того чтобы окружность существовала в действительных числах, ее радиус должен быть неотрицательным, следовательно, $R^2 \ge 0$.

$3 - a \ge 0 \implies a \le 3$.

При $a > 3$ второе уравнение не имеет решений, а значит, и вся система не имеет решений.

Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения окружности $x^2 + y^2 = 3 - a$ с парой прямых $y = x + 2$ и $y = x - 2$.

Найдем расстояние от центра окружности, точки $(0, 0)$, до каждой из прямых. Уравнения прямых в общем виде: $x - y + 2 = 0$ и $x - y - 2 = 0$. Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

Расстояние до прямой $l_1$: $d_1 = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Расстояние до прямой $l_2$: $d_2 = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Обе прямые находятся на одинаковом расстоянии $d = \sqrt{2}$ от центра окружности. Радиус окружности равен $R = \sqrt{3-a}$.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от соотношения между радиусом $R$ и расстоянием $d$:

1. Если $R < d$, то есть $\sqrt{3-a} < \sqrt{2}$. Возводя в квадрат, получаем $3 - a < 2$, откуда $a > 1$. С учетом условия $a \le 3$, имеем $1 < a \le 3$. В этом случае окружность не пересекает ни одну из прямых. Система не имеет решений.

2. Если $R = d$, то есть $\sqrt{3-a} = \sqrt{2}$. Возводя в квадрат, получаем $3 - a = 2$, откуда $a = 1$. В этом случае каждая из прямых касается окружности в одной точке. Поскольку прямые различны, точки касания также будут различны. Система имеет ровно $1 + 1 = 2$ решения.

3. Если $R > d$, то есть $\sqrt{3-a} > \sqrt{2}$. Возводя в квадрат, получаем $3 - a > 2$, откуда $a < 1$. В этом случае каждая из прямых пересекает окружность в двух различных точках. Общее число решений будет $2 + 2 = 4$.

Таким образом, система имеет ровно два решения только в случае, когда прямые касаются окружности, то есть при $a = 1$.

Проведем проверку алгебраическим методом.

Система распадается на две подсистемы:

(A) $\begin{cases} y = x+2 \\ x^2 + y^2 = 3-a \end{cases}$ и (B) $\begin{cases} y = x-2 \\ x^2 + y^2 = 3-a \end{cases}$

Решения этих подсистем не пересекаются, так как в (A) $y-x=2$, а в (B) $y-x=-2$.

Для подсистемы (A) подставим $y$ во второе уравнение: $x^2 + (x+2)^2 = 3-a$, что приводит к квадратному уравнению $2x^2 + 4x + (1+a) = 0$.

Для подсистемы (B) подставим $y$ во второе уравнение: $x^2 + (x-2)^2 = 3-a$, что приводит к квадратному уравнению $2x^2 - 4x + (1+a) = 0$.

Найдем дискриминант для первого уравнения: $\Delta_A = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1+a) = 16 - 8(1+a) = 8 - 8a = 8(1-a)$.

Найдем дискриминант для второго уравнения: $\Delta_B = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1+a) = 16 - 8(1+a) = 8 - 8a = 8(1-a)$.

Общее число решений системы равно сумме числа решений уравнений для $x$ в каждой подсистеме.

- Если $1-a < 0$, то есть $a > 1$, то $\Delta_A < 0$ и $\Delta_B < 0$. Оба уравнения не имеют действительных корней. Общее число решений: $0+0=0$.

- Если $1-a = 0$, то есть $a = 1$, то $\Delta_A = 0$ и $\Delta_B = 0$. Каждое уравнение имеет ровно один действительный корень. Общее число решений: $1+1=2$.

- Если $1-a > 0$, то есть $a < 1$, то $\Delta_A > 0$ и $\Delta_B > 0$. Каждое уравнение имеет два различных действительных корня. Общее число решений: $2+2=4$.

Оба метода дают одинаковый результат. Система имеет ровно два решения при $a=1$.

Ответ: $a=1$.