Номер 11.11, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.11, страница 117.

Условие.

11.11. Найдите все значения параметров $a$ и $b$, при которых совпадают множества решений систем уравнений $\begin{cases}ax + 2y = b + 1, \\x + y = 3\end{cases}$ и $\begin{cases}2x + y = a^2 + 2, \\x + 3y = 3.\end{cases}$

Решение.

Для того чтобы множества решений двух систем уравнений совпадали, необходимо, чтобы эти системы были эквивалентны. Запишем обе системы:

Система 1: $ \begin{cases} ax + 2y = b + 1, \\ x + y = 3 \end{cases} $

Система 2: $ \begin{cases} 2x + y = a^2 + 2, \\ x + 3y = 3 \end{cases} $

Сначала проанализируем вторую систему, так как она содержит только один параметр $a$. Найдем определитель матрицы коэффициентов этой системы:

$ D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 6 - 1 = 5 $

Поскольку определитель $D_2 = 5 \neq 0$, система 2 имеет единственное решение при любом значении параметра $a$. Найдем это решение. Из второго уравнения системы 2 выразим $x$: $x = 3 - 3y$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(3 - 3y) + y = a^2 + 2$

$6 - 6y + y = a^2 + 2$

$6 - 5y = a^2 + 2$

$5y = 4 - a^2$

$y = \frac{4 - a^2}{5}$

Теперь найдем $x$:

$x = 3 - 3y = 3 - 3\left(\frac{4 - a^2}{5}\right) = \frac{15 - 3(4 - a^2)}{5} = \frac{15 - 12 + 3a^2}{5} = \frac{3a^2 + 3}{5}$

Таким образом, единственным решением системы 2 является пара чисел $(x; y) = \left(\frac{3a^2 + 3}{5}; \frac{4 - a^2}{5}\right)$.

Чтобы множества решений совпадали, система 1 должна иметь то же самое единственное решение. Это означает, что, во-первых, система 1 должна иметь единственное решение, и, во-вторых, это решение должно совпадать с решением системы 2.

Условием единственности решения для системы 1 является неравенство нулю ее определителя:

$ D_1 = \begin{vmatrix} a & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = a \cdot 1 - 2 \cdot 1 = a - 2 $

Следовательно, $a - 2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$.

Теперь подставим найденное решение $(x; y)$ в уравнения системы 1. Начнем со второго уравнения, так как оно не содержит параметр $b$:

$x + y = 3$

$\frac{3a^2 + 3}{5} + \frac{4 - a^2}{5} = 3$

$\frac{3a^2 + 3 + 4 - a^2}{5} = 3$

$\frac{2a^2 + 7}{5} = 3$

$2a^2 + 7 = 15$

$2a^2 = 8$

$a^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a = 2$ и $a = -2$.

Однако мы ранее установили, что для единственности решения системы 1 должно выполняться условие $a \neq 2$. Таким образом, единственно возможное значение для $a$ - это $a = -2$.

Найдем соответствующее значение параметра $b$. Для этого подставим $a = -2$ и найденные при этом $x$ и $y$ в первое уравнение системы 1. Сначала вычислим $x$ и $y$ при $a = -2$:

$x = \frac{3(-2)^2 + 3}{5} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{5} = \frac{15}{5} = 3$

$y = \frac{4 - (-2)^2}{5} = \frac{4 - 4}{5} = 0$

Теперь подставим $a = -2$, $x = 3$, $y = 0$ в уравнение $ax + 2y = b + 1$:

$(-2) \cdot 3 + 2 \cdot 0 = b + 1$

$-6 = b + 1$

$b = -7$

Итак, единственная пара параметров, удовлетворяющая условию задачи, это $a = -2$ и $b = -7$.

Ответ: $a = -2, b = -7$.