Номер 10.29, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.29, страница 113.

Условие.

10.29. Найдите наименьшее значение выражения $x^2 + y^2$, если $|x+3| + |y| = 1$.

Решение.

Требуется найти наименьшее значение выражения $x^2 + y^2$ при выполнении условия $|x + 3| + |y| = 1$.

Геометрический смысл выражения $x^2 + y^2$ — это квадрат расстояния от точки с координатами $(x, y)$ до начала координат $(0, 0)$. Условие $|x + 3| + |y| = 1$ задает на координатной плоскости множество точек, представляющее собой квадрат. Центр этого квадрата находится в точке, где выражения под модулями равны нулю, то есть $x+3=0$ и $y=0$, что соответствует точке $(-3, 0)$. Вершины квадрата находятся в точках, где одно из слагаемых $|x + 3|$ или $|y|$ равно 1, а другое 0. Это точки: $(-2, 0)$, $(-4, 0)$, $(-3, 1)$ и $(-3, -1)$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точки на этом квадрате, которая находится на наименьшем расстоянии от начала координат. Таковой точкой может быть либо одна из вершин квадрата, либо точка, лежащая на одной из его сторон.

Сначала вычислим квадраты расстояний от начала координат до каждой из вершин:
Для точки $(-2, 0)$ имеем $x^2 + y^2 = (-2)^2 + 0^2 = 4$.
Для точки $(-3, 1)$ имеем $x^2 + y^2 = (-3)^2 + 1^2 = 10$.
Для точки $(-4, 0)$ имеем $x^2 + y^2 = (-4)^2 + 0^2 = 16$.
Для точки $(-3, -1)$ имеем $x^2 + y^2 = (-3)^2 + (-1)^2 = 10$.
Наименьшее значение среди вершин равно 4.

Теперь проверим стороны квадрата. Рассмотрим сторону, соединяющую вершины $(-2, 0)$ и $(-3, 1)$. Для точек на этом отрезке выполняются условия $-3 \le x \le -2$ и $y \ge 0$. Также $x+3 \ge 0$. Уравнение $|x + 3| + |y| = 1$ принимает вид $(x+3) + y = 1$, откуда $y = -x-2$. Подставим это выражение для $y$ в $x^2 + y^2$:
$f(x) = x^2 + (-x-2)^2 = x^2 + x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + 4x + 4$.
Нужно найти наименьшее значение этой функции на отрезке $x \in [-3, -2]$. Это парабола с ветвями вверх, ее вершина находится в точке $x = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$. Так как $x=-1$ не принадлежит отрезку $[-3, -2]$, а сам отрезок лежит левее вершины, функция на нем убывает. Следовательно, наименьшее значение достигается на правом конце отрезка, при $x=-2$. При $x=-2$ значение функции равно $f(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) + 4 = 4$. Это значение соответствует вершине $(-2, 0)$.

Аналогичные рассуждения для остальных сторон показывают, что точки на них не находятся ближе к началу координат. Например, для стороны между $(-3, 1)$ и $(-4, 0)$ минимальный квадрат расстояния равен 10.

Сравнив значения в вершинах и на сторонах, заключаем, что наименьшее значение выражения $x^2+y^2$ равно 4.

Ответ: 4