Номер 10.26, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.26, страница 113.

Условие.

10.26. Постройте график уравнения ${x} = {y}$.

Решение.

Для построения графика уравнения $\{x\} = \{y\}$ воспользуемся определением дробной части числа. Дробной частью числа $a$, обозначаемой $\{a\}$, называется разность между самим числом и его целой частью: $\{a\} = a - [a]$, где $[a]$ — наибольшее целое число, не превосходящее $a$ (функция «пол» или антье). Область значений функции дробной части — полуинтервал $[0, 1)$.

Подставим это определение в исходное уравнение:

$x - [x] = y - [y]$

Обозначим целые части переменных как $[x] = n$ и $[y] = m$, где $n$ и $m$ — произвольные целые числа ($n, m \in \mathbb{Z}$). Тогда уравнение принимает вид:

$x - n = y - m$

Выразим $y$ через $x$:

$y = x + (m - n)$

Поскольку $m$ и $n$ — любые целые числа, их разность $k = m - n$ также является любым целым числом ($k \in \mathbb{Z}$). Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности линейных уравнений:

$y = x + k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Графиком этого соотношения является бесконечное семейство параллельных прямых. Все прямые имеют угловой коэффициент, равный 1, и пересекают ось ординат $y$ в точках с целыми координатами ($..., -2, -1, 0, 1, 2, ...$).

Ответ: Графиком уравнения $\{x\} = \{y\}$ является множество параллельных прямых, задаваемых уравнением $y = x + k$, где $k$ — любое целое число.