Номер 10.25, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.25, страница 113.

Условие.

10.25. Постройте график уравнения $\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2} = 2 - x^2 - y^2$.

Решение.

Исходное уравнение: $\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 - y^2} = 2 - x^2 - y^2$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными, получаем систему неравенств: $\begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ 1 - y^2 \ge 0 \end{cases}$
Решая ее, находим: $\begin{cases} x^2 \le 1 \\ y^2 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ -1 \le y \le 1 \end{cases}$
Это означает, что график уравнения целиком находится в квадрате, ограниченном прямыми $x=\pm1$ и $y=\pm1$.

Преобразуем уравнение.
Заметим, что правую часть можно представить в виде $2 - x^2 - y^2 = (1 - x^2) + (1 - y^2)$. Тогда уравнение примет вид: $\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 - y^2} = (1 - x^2) + (1 - y^2)$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону и сгруппируем: $((1 - x^2) - \sqrt{1 - x^2}) + ((1 - y^2) - \sqrt{1 - y^2}) = 0$.

Выполним замену переменных для упрощения.
Пусть $a = \sqrt{1 - x^2}$ и $b = \sqrt{1 - y^2}$. Из ОДЗ следует, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Также, поскольку $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то $1-x^2 \le 1$ и $1-y^2 \le 1$, а значит $a \le 1$ и $b \le 1$. Таким образом, $a, b \in [0, 1]$. Учитывая, что $a^2 = 1 - x^2$ и $b^2 = 1 - y^2$, подставим новые переменные в преобразованное уравнение: $(a^2 - a) + (b^2 - b) = 0$.

Проанализируем полученное выражение.
Рассмотрим функцию $f(t) = t^2 - t$. Уравнение можно записать как $f(a) + f(b) = 0$. Для любого $t$ из отрезка $[0, 1]$ функция $f(t) = t(t-1)$ принимает неположительные значения ($f(t) \le 0$), так как на этом отрезке $t \ge 0$ и $t-1 \le 0$. Сумма двух неположительных слагаемых $f(a)$ и $f(b)$ равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Таким образом, мы приходим к системе уравнений: $\begin{cases} a^2 - a = 0 \\ b^2 - b = 0 \end{cases}$

Решая эти уравнения, получаем:
$a(a-1)=0 \implies a=0$ или $a=1$.
$b(b-1)=0 \implies b=0$ или $b=1$.

Выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$ и $y$.
Для переменной $x$ имеем два случая:
1) $a = \sqrt{1 - x^2} = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
2) $a = \sqrt{1 - x^2} = 1 \implies 1 - x^2 = 1 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$.
Следовательно, $x$ может принимать значения из множества $\{-1, 0, 1\}$.

Аналогично для переменной $y$:
1) $b = \sqrt{1 - y^2} = 0 \implies 1 - y^2 = 0 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
2) $b = \sqrt{1 - y^2} = 1 \implies 1 - y^2 = 1 \implies y^2 = 0 \implies y = 0$.
Следовательно, $y$ может принимать значения из множества $\{-1, 0, 1\}$.

Таким образом, графиком исходного уравнения является множество точек $(x,y)$, для которых $x \in \{-1, 0, 1\}$ и $y \in \{-1, 0, 1\}$. Это 9 точек, расположенных в узлах целочисленной сетки: $(-1, -1)$, $(-1, 0)$, $(-1, 1)$,
$(0, -1)$, $(0, 0)$, $(0, 1)$,
$(1, -1)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является множество из девяти точек: $(-1, -1)$, $(-1, 0)$, $(-1, 1)$, $(0, -1)$, $(0, 0)$, $(0, 1)$, $(1, -1)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$.