Номер 10.17, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.17, страница 112.

Условие.

10.17. Постройте график уравнения:

1) $\frac{y - x^2}{y - x} = 0;$

2) $\frac{x^2 + y^2 - 1}{|x| - 1} = 0;$

3) $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 - 1} = 0;$

4) $\frac{(y^2 - 1)(y - x)}{x^2 - 4} = 0;$

5) $\frac{x^2 - x}{y - x} = 1;$

6) $\frac{3x^2 + y^2 - 2}{x^2 - y^2} = 1;$

7) $\frac{x^2 - y^2}{|x| - |y|} = 1;$

8) $\frac{x^2 + x}{y^2 + y} = 1;$

9) $\frac{3|x| + |y| - 2}{|x| - |y|} = 1.$

Решение.

1)

Дано уравнение $\frac{y - x^2}{y - x} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неравенства знаменателя нулю: $y - x \neq 0$, что эквивалентно $y \neq x$. Геометрически это означает, что график уравнения не должен содержать точек, принадлежащих прямой $y = x$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравниваем числитель к нулю: $y - x^2 = 0$, откуда получаем $y = x^2$.

Это уравнение задаёт параболу с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

Далее, из графика параболы $y = x^2$ необходимо исключить точки, не удовлетворяющие ОДЗ, то есть точки, в которых $y = x$. Для их нахождения решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x \end{cases} \implies x^2 = x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$.

Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Соответствующие значения $y$ равны $y_1 = 0$ и $y_2 = 1$. Таким образом, точки $(0,0)$ и $(1,1)$ должны быть исключены из графика.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотыми точками $(0,0)$ и $(1,1)$.

2)

Дано уравнение $\frac{x^2 + y^2 - 1}{|x| - 1} = 0$.

ОДЗ: $|x| - 1 \neq 0$, то есть $|x| \neq 1$. Это означает, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$. График не должен пересекать вертикальные прямые $x=1$ и $x=-1$.

Приравниваем числитель к нулю: $x^2 + y^2 - 1 = 0$, что эквивалентно $x^2 + y^2 = 1$.

Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=1$.

Теперь исключим из этой окружности точки, для которых $x=1$ или $x=-1$.

При $x=1$: $1^2 + y^2 = 1 \implies y^2 = 0 \implies y=0$. Исключаемая точка $(1,0)$.

При $x=-1$: $(-1)^2 + y^2 = 1 \implies y^2 = 0 \implies y=0$. Исключаемая точка $(-1,0)$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность $x^2+y^2=1$ с выколотыми точками $(1,0)$ и $(-1,0)$.

3)

Дано уравнение $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 - 1} = 0$.

ОДЗ: $x^2 + y^2 - 1 \neq 0$, то есть $x^2 + y^2 \neq 1$. График не должен содержать точек, лежащих на окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом 1.

Приравниваем числитель к нулю: $x^2 - y^2 = 0 \implies (x-y)(x+y) = 0$.

Это равенство выполняется, если $x-y=0$ (то есть $y=x$) или $x+y=0$ (то есть $y=-x$).

Таким образом, график представляет собой объединение двух прямых: $y=x$ и $y=-x$.

Исключим точки пересечения этих прямых с окружностью $x^2 + y^2 = 1$.

Для прямой $y=x$: $x^2 + x^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Для прямой $y=-x$: $x^2 + (-x)^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Графиком уравнения является пара прямых $y=x$ и $y=-x$ с выколотыми точками $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

4)

Дано уравнение $\frac{(y^2 - 1)(y - x)}{x^2 - 4} = 0$.

ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -2$. График не должен пересекать вертикальные прямые $x=2$ и $x=-2$.

Приравниваем числитель к нулю: $(y^2 - 1)(y - x) = 0$.

Это равенство выполняется, если $y^2 - 1 = 0$ или $y - x = 0$.

Из $y^2-1=0$ получаем $y=1$ и $y=-1$ (две горизонтальные прямые).

Из $y-x=0$ получаем $y=x$ (биссектриса первого и третьего координатных углов).

График является объединением трех прямых: $y=1$, $y=-1$, $y=x$.

Исключим из этих прямых точки, где $x=2$ или $x=-2$.

На прямой $y=1$: точки $(2,1)$ и $(-2,1)$.

На прямой $y=-1$: точки $(2,-1)$ и $(-2,-1)$.

На прямой $y=x$: точки $(2,2)$ и $(-2,-2)$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение трех прямых $y=1$, $y=-1$ и $y=x$ с выколотыми точками $(2,1)$, $(-2,1)$, $(2,-1)$, $(-2,-1)$, $(2,2)$ и $(-2,-2)$.

5)

Дано уравнение $\frac{x^2 - x}{y - x} = 1$.

ОДЗ: $y - x \neq 0$, то есть $y \neq x$. График не должен содержать точек, лежащих на прямой $y=x$.

Преобразуем уравнение: $x^2 - x = y - x \implies y = x^2$.

Это уравнение параболы с вершиной в начале координат и ветвями вверх.

Исключим из параболы точки, для которых $y=x$. Найдем точки пересечения $y=x^2$ и $y=x$.

$x^2 = x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$.

Получаем $x_1=0, y_1=0$ и $x_2=1, y_2=1$. Точки $(0,0)$ и $(1,1)$ должны быть выколоты.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотыми точками $(0,0)$ и $(1,1)$.

6)

Дано уравнение $\frac{3x^2 + y^2 - 2}{x^2 - y^2} = 1$.

ОДЗ: $x^2 - y^2 \neq 0 \implies (x-y)(x+y) \neq 0$. Это означает, что $y \neq x$ и $y \neq -x$. График не должен содержать точек прямых $y=x$ и $y=-x$.

Преобразуем уравнение: $3x^2 + y^2 - 2 = x^2 - y^2 \implies 2x^2 + 2y^2 = 2 \implies x^2 + y^2 = 1$.

Это уравнение окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом 1.

Исключим из этой окружности точки пересечения с прямыми $y=x$ и $y=-x$.

Для $y=x$: $x^2 + x^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Для $y=-x$: $x^2 + (-x)^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность $x^2+y^2=1$ с выколотыми точками $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

7)

Дано уравнение $\frac{x^2 - y^2}{|x| - |y|} = 1$.

ОДЗ: $|x| - |y| \neq 0$, то есть $|x| \neq |y|$. Это эквивалентно условиям $y \neq x$ и $y \neq -x$. График не должен содержать точек, лежащих на прямых $y=x$ и $y=-x$.

Преобразуем числитель: $x^2 - y^2 = (|x|)^2 - (|y|)^2 = (|x| - |y|)(|x| + |y|)$.

Подставим это в уравнение: $\frac{(|x| - |y|)(|x| + |y|)}{|x| - |y|} = 1$.

С учетом ОДЗ, сокращаем дробь и получаем: $|x| + |y| = 1$.

Это уравнение задает квадрат с вершинами в точках $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$ и $(0,-1)$.

Теперь необходимо исключить из этого квадрата точки, для которых $|x|=|y|$.

Подставим $|y|=|x|$ в уравнение квадрата: $|x| + |x| = 1 \implies 2|x| = 1 \implies |x| = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $|y| = \frac{1}{2}$. Исключаемые точки имеют координаты $(\pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{2})$. Это четыре точки: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

Ответ: Графиком уравнения является квадрат, заданный уравнением $|x|+|y|=1$ (с вершинами в точках $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$), с выколотыми точками $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

8)

Дано уравнение $\frac{x^2 + x}{y^2 + y} = 1$.

ОДЗ: $y^2 + y \neq 0 \implies y(y+1) \neq 0$. Это означает, что $y \neq 0$ и $y \neq -1$. График не должен пересекать горизонтальные прямые $y=0$ и $y=-1$.

Преобразуем уравнение: $x^2 + x = y^2 + y \implies x^2 - y^2 + x - y = 0$.

Разложим на множители: $(x-y)(x+y) + (x-y) = 0 \implies (x-y)(x+y+1) = 0$.

Это равенство выполняется, если $x-y=0$ (то есть $y=x$) или $x+y+1=0$ (то есть $y=-x-1$).

График является объединением двух прямых: $y=x$ и $y=-x-1$.

Исключим из этих прямых точки, где $y=0$ или $y=-1$.

На прямой $y=x$: если $y=0$, то $x=0$ (точка $(0,0)$); если $y=-1$, то $x=-1$ (точка $(-1,-1)$).

На прямой $y=-x-1$: если $y=0$, то $0=-x-1 \implies x=-1$ (точка $(-1,0)$); если $y=-1$, то $-1=-x-1 \implies x=0$ (точка $(0,-1)$).

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух прямых $y=x$ и $y=-x-1$ с выколотыми точками $(0,0)$, $(-1,-1)$, $(-1,0)$ и $(0,-1)$.

9)

Дано уравнение $\frac{3|x| + |y| - 2}{|x| - |y|} = 1$.

ОДЗ: $|x| - |y| \neq 0$, то есть $|x| \neq |y|$. Это эквивалентно условиям $y \neq x$ и $y \neq -x$.

Преобразуем уравнение: $3|x| + |y| - 2 = |x| - |y| \implies 2|x| + 2|y| = 2 \implies |x| + |y| = 1$.

Это уравнение задает квадрат с вершинами в точках $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$ и $(0,-1)$.

Необходимо исключить из этого квадрата точки, для которых $|x|=|y|$.

Подставим $|y|=|x|$ в уравнение квадрата: $|x| + |x| = 1 \implies 2|x| = 1 \implies |x| = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $|y| = \frac{1}{2}$. Исключаемые точки имеют координаты $(\pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{2})$. Это четыре точки: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

Ответ: Графиком уравнения является квадрат, заданный уравнением $|x|+|y|=1$ (с вершинами в точках $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$), с выколотыми точками $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.