Номер 10.10, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.10, страница 111.

Условие.

10.10. Постройте график уравнения:

1) $|y| = x^2$;

2) $|y| = 1 - x^2$;

3) $|y - 1| = x^2$;

4) $|y - 1| = (x - 1)^2$;

5) $|y| = (|x| - 1)^2$;

6) $|y - 1| = (|x| - 1)^2$.

Решение.

1) Построим график уравнения $|y| = x^2$.

По определению модуля, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$y = x^2$ и $y = -x^2$.

Для построения графика необходимо построить графики обеих функций в одной системе координат.

1. $y = x^2$ — это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$.
2. $y = -x^2$ — это парабола, симметричная параболе $y=x^2$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$), ее ветви направлены вниз, а вершина также находится в точке $(0, 0)$.

Объединение этих двух графиков и является искомым графиком уравнения.

Ответ: График представляет собой объединение двух парабол: $y = x^2$ (ветви вверх) и $y = -x^2$ (ветви вниз), с общей вершиной в начале координат.

---

2) Построим график уравнения $|y| = 1 - x^2$.

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, левая часть уравнения $|y| \ge 0$. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной:

$1 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 1$

$-1 \le x \le 1$

Это область определения для нашего графика.

Уравнение $|y| = 1 - x^2$ равносильно совокупности двух уравнений при условии $-1 \le x \le 1$:

$y = 1 - x^2$ и $y = -(1 - x^2) = x^2 - 1$.

1. $y = 1 - x^2$ — парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(0, 1)$, пересекающая ось $Ox$ в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. Мы рассматриваем только ту часть графика, где $-1 \le x \le 1$.
2. $y = x^2 - 1$ — парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(0, -1)$, пересекающая ось $Ox$ в тех же точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. Мы также рассматриваем только ту часть графика, где $-1 \le x \le 1$.

Объединение этих двух дуг парабол образует замкнутую фигуру.

Ответ: График представляет собой замкнутую фигуру, образованную дугой параболы $y = 1 - x^2$ при $x \in [-1, 1]$ и дугой параболы $y = x^2 - 1$ при $x \in [-1, 1]$.

---

3) Построим график уравнения $|y - 1| = x^2$.

Это уравнение можно получить из уравнения $|y| = x^2$ (задача 1), если заменить $y$ на $y-1$. Такое преобразование соответствует сдвигу графика вверх вдоль оси $Oy$ на 1 единицу.

Также можно раскрыть модуль:

$y - 1 = x^2$ или $y - 1 = -x^2$.

Это дает нам два уравнения:

1. $y = x^2 + 1$ — парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $(0, 1)$.
2. $y = -x^2 + 1$ — парабола с ветвями вниз, вершина которой также находится в точке $(0, 1)$.

График уравнения является объединением этих двух парабол.

Ответ: График представляет собой объединение двух парабол: $y = x^2 + 1$ (ветви вверх) и $y = -x^2 + 1$ (ветви вниз), с общей вершиной в точке $(0, 1)$.

---

4) Построим график уравнения $|y - 1| = (x - 1)^2$.

Это уравнение можно получить из уравнения $|y| = x^2$ (задача 1) заменой $y$ на $y-1$ и $x$ на $x-1$. Это соответствует сдвигу исходного графика на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$ и на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Вершина сместится в точку $(1, 1)$.

Раскроем модуль:

$y - 1 = (x - 1)^2$ или $y - 1 = -(x - 1)^2$.

Получаем два уравнения:

1. $y = (x - 1)^2 + 1$ — парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $(1, 1)$.
2. $y = -(x - 1)^2 + 1$ — парабола с ветвями вниз, вершина которой также находится в точке $(1, 1)$.

График уравнения является объединением этих двух парабол.

Ответ: График представляет собой объединение двух парабол: $y = (x - 1)^2 + 1$ (ветви вверх) и $y = -(x - 1)^2 + 1$ (ветви вниз), с общей вершиной в точке $(1, 1)$.

---

5) Построим график уравнения $|y| = (|x| - 1)^2$.

Правая часть $(|x| - 1)^2$ всегда неотрицательна, поэтому ограничений на $x$ нет. Построим график в несколько шагов.

Шаг 1: Построим график функции $y = (|x| - 1)^2$.

• При $x \ge 0$, имеем $y = (x - 1)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, пересекающая ось $Oy$ в точке $(0, 1)$.
• Так как функция $y = (|x| - 1)^2$ является четной (значение не меняется при замене $x$ на $-x$), ее график симметричен относительно оси $Oy$. Поэтому для $x < 0$ мы отражаем построенную часть графика относительно оси $Oy$. Получим вторую параболическую ветвь с вершиной в точке $(-1, 0)$.
• График $y = (|x| - 1)^2$ имеет W-образную форму.

Шаг 2: Вернемся к исходному уравнению $|y| = (|x| - 1)^2$. Оно равносильно совокупности:

$y = (|x| - 1)^2$ и $y = -(|x| - 1)^2$.

1. График $y = (|x| - 1)^2$ мы уже описали (W-образная форма).
2. График $y = -(|x| - 1)^2$ симметричен графику $y = (|x| - 1)^2$ относительно оси $Ox$. Он имеет M-образную форму с вершинами в $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и точкой излома в $(0, -1)$.

Искомый график является объединением этих двух кривых.

Ответ: График состоит из двух кривых. Первая, $y = (|x| - 1)^2$, имеет W-образную форму с вершинами в $(1, 0)$ и $(-1, 0)$ и проходит через точку $(0, 1)$. Вторая, $y = -(|x| - 1)^2$, симметрична первой относительно оси $Ox$, имеет M-образную форму с теми же вершинами и проходит через точку $(0, -1)$.

---

6) Построим график уравнения $|y - 1| = (|x| - 1)^2$.

Это уравнение можно получить из уравнения $|y| = (|x| - 1)^2$ (задача 5) заменой $y$ на $y-1$. Это соответствует сдвигу графика из задачи 5 вверх на 1 единицу.

Раскроем модуль:

$y - 1 = (|x| - 1)^2$ или $y - 1 = -(|x| - 1)^2$.

Получаем два уравнения:

1. $y = (|x| - 1)^2 + 1$. Это график $y = (|x| - 1)^2$ (W-образная кривая), сдвинутый на 1 вверх. Вершины параболических ветвей находятся в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. Точка на оси $Oy$ — $(0, 2)$.
2. $y = -(|x| - 1)^2 + 1$. Это график $y = -(|x| - 1)^2$ (M-образная кривая), сдвинутый на 1 вверх. Вершины параболических ветвей также находятся в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. Точка излома на оси $Oy$ — $(0, 0)$.

Искомый график является объединением этих двух кривых.

Ответ: График является объединением двух кривых. Первая, $y = (|x| - 1)^2 + 1$, имеет W-образную форму с вершинами в $(-1, 1)$ и $(1, 1)$ и проходит через точку $(0, 2)$. Вторая, $y = -(|x| - 1)^2 + 1$, имеет M-образную форму с теми же вершинами $(-1, 1)$ и $(1, 1)$ и проходит через начало координат $(0, 0)$.