Номер 10.15, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.15, страница 112.

Условие.

10.15. Постройте график уравнения:

1) $y = \sqrt{4 - x^2}$;

2) $y - 1 = \sqrt{4 - x^2}$;

3) $|y - 1| = \sqrt{4 - x^2}$;

4) $|y| - 1 = \sqrt{4 - x^2}$;

5) $y = \sqrt{2x - x^2}$;

6) $y = \sqrt{2|x| - x^2}$.

Решение.

1) $y = \sqrt{4 - x^2}$

Область определения уравнения задается условием $4 - x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 4$, или $-2 \le x \le 2$.
Также, по определению арифметического квадратного корня, $y \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = (\sqrt{4 - x^2})^2$
$y^2 = 4 - x^2$
$x^2 + y^2 = 4$
Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.
Учитывая условие $y \ge 0$, мы берем только ту часть окружности, которая лежит в верхней полуплоскости (над осью Ox).

Ответ: График уравнения — верхняя полуокружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 2.

2) $y - 1 = \sqrt{4 - x^2}$

Область определения та же, что и в предыдущем пункте: $-2 \le x \le 2$.
Из уравнения следует, что $y - 1 \ge 0$, то есть $y \ge 1$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $(y - 1)^2 = 4 - x^2$
$x^2 + (y - 1)^2 = 4$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $R = 2$.
Условие $y \ge 1$ означает, что мы берем только верхнюю половину этой окружности. Также можно заметить, что уравнение $y = \sqrt{4 - x^2} + 1$ получается из уравнения $y = \sqrt{4 - x^2}$ сдвигом графика на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Ответ: График уравнения — верхняя полуокружность с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом 2.

3) $|y - 1| = \sqrt{4 - x^2}$

Область определения: $-2 \le x \le 2$.
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат без введения дополнительных ограничений на $y$: $(|y - 1|)^2 = (\sqrt{4 - x^2})^2$
$(y - 1)^2 = 4 - x^2$
$x^2 + (y - 1)^2 = 4$
Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $R = 2$. Так как никаких ограничений на $y$ не возникло, графиком является вся окружность.

Ответ: График уравнения — окружность с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом 2.

4) $|y| - 1 = \sqrt{4 - x^2}$

Область определения: $-2 \le x \le 2$.
Из уравнения следует, что $|y| - 1 \ge 0$, то есть $|y| \ge 1$. Это означает, что $y \ge 1$ или $y \le -1$.
Перепишем уравнение как $|y| = 1 + \sqrt{4 - x^2}$. Это уравнение распадается на два: 1) $y = 1 + \sqrt{4 - x^2}$, если $y \ge 0$. Это уравнение совпадает с уравнением из пункта 2), его график — верхняя полуокружность с центром в $(0, 1)$ и радиусом 2. Все точки этой полуокружности удовлетворяют условию $y \ge 1$. 2) $y = -(1 + \sqrt{4 - x^2})$, если $y < 0$. Перепишем как $y + 1 = -\sqrt{4 - x^2}$. Возведем в квадрат: $(y + 1)^2 = 4 - x^2$, или $x^2 + (y + 1)^2 = 4$. Это окружность с центром в $(0, -1)$ и радиусом 2. Условие $y+1 \le 0$ (или $y \le -1$) означает, что мы берем нижнюю половину этой окружности.

Ответ: График уравнения — объединение двух полуокружностей: верхней полуокружности окружности $x^2+(y-1)^2=4$ и нижней полуокружности окружности $x^2+(y+1)^2=4$.

5) $y = \sqrt{2x - x^2}$

Область определения: $2x - x^2 \ge 0 \implies x(2 - x) \ge 0 \implies 0 \le x \le 2$.
Также $y \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат: $y^2 = 2x - x^2$
$x^2 - 2x + y^2 = 0$
Дополним выражение для $x$ до полного квадрата: $(x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 = 0$
$(x - 1)^2 + y^2 = 1$
Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $R = 1$.
Учитывая условие $y \ge 0$, получаем верхнюю полуокружность.

Ответ: График уравнения — верхняя полуокружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 1.

6) $y = \sqrt{2|x| - x^2}$

Так как $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде $y = \sqrt{2|x| - |x|^2}$.
Функция $y(x)$ является четной, так как $y(-x) = \sqrt{2|-x| - (-x)^2} = \sqrt{2|x| - x^2} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.
Построим график для $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и уравнение принимает вид: $y = \sqrt{2x - x^2}$
Это уравнение из пункта 5). Его график для $x \ge 0$ (а именно для $x \in [0, 2]$) — верхняя полуокружность с центром в $(1, 0)$ и радиусом 1.
Теперь отразим эту часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$. Отражение полуокружности с центром $(1,0)$ даст нам полуокружность с центром в $(-1, 0)$ и тем же радиусом 1. Эта часть графика соответствует $x \in [-2, 0]$.
Таким образом, итоговый график состоит из двух соприкасающихся в начале координат верхних полуокружностей.

Ответ: График уравнения — объединение двух верхних полуокружностей: одной с центром в $(1, 0)$ и радиусом 1, и второй с центром в $(-1, 0)$ и радиусом 1.