Номер 10.8, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.8, страница 111.

Условие.

10.8. Постройте график уравнения:

1) $|y|=\sqrt{x}$;

2) $|y+1|=\sqrt{x}$;

3) $|y|=\sqrt{x+1}$;

4) $|y+1|=\sqrt{|x|+1}$;

5) $|y|=\sqrt{|x|+1}$;

6) $|y|+1=\sqrt{|x|+1}$.

Решение.

Для построения графиков данных уравнений мы будем использовать метод преобразования графиков элементарных функций, а также раскрытие модуля.

Общие правила для построения графиков с модулями:

• График уравнения $|y| = f(x)$ состоит из двух частей: графика $y = f(x)$ и его симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). Это возможно только для тех $x$, где $f(x) \ge 0$.
• График функции $y = f(|x|)$ строится так: сначала строится график $y = f(x)$ для $x \ge 0$, а затем эта часть графика симметрично отражается относительно оси ординат ($Oy$).
• Замена $y$ на $y+a$ сдвигает график на $a$ единиц вниз по оси $Oy$.
• Замена $x$ на $x+b$ сдвигает график на $b$ единиц влево по оси $Ox$.

1) $|y| = \sqrt{x}$

Область определения уравнения задается условием $x \ge 0$.

Уравнение $|y| = \sqrt{x}$ равносильно совокупности двух уравнений: $y = \sqrt{x}$ и $y = -\sqrt{x}$.

Построение графика:

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, начинающаяся в точке (0, 0) и проходящая через (1, 1), (4, 2).
2. Строим график функции $y = -\sqrt{x}$. Это нижняя ветвь параболы, симметричная первой относительно оси $Ox$. Она также начинается в (0, 0) и проходит через (1, -1), (4, -2).

Объединение этих двух кривых и является искомым графиком.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке (0, 0), симметричная относительно оси абсцисс ($Ox$) и с ветвями, направленными вправо.

2) $|y+1| = \sqrt{x}$

Область определения: $x \ge 0$.

Это уравнение можно получить из уравнения $|y| = \sqrt{x}$ заменой $y$ на $y+1$. Такое преобразование соответствует сдвигу графика вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вниз.

Alternatively, раскроем модуль: $y+1 = \sqrt{x}$ или $y+1 = -\sqrt{x}$. Это дает нам две функции: $y = \sqrt{x} - 1$ и $y = -\sqrt{x} - 1$.

Построение графика:

1. Берем график из пункта 1) (параболу $y^2=x$).
2. Сдвигаем его на 1 единицу вниз. Вершина параболы переместится из точки (0, 0) в точку (0, -1).

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке (0, -1), симметричная относительно прямой $y = -1$ и с ветвями, направленными вправо.

3) $|y| = \sqrt{x+1}$

Область определения: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.

Это уравнение можно получить из уравнения $|y| = \sqrt{x}$ заменой $x$ на $x+1$. Такое преобразование соответствует сдвигу графика вдоль оси $Ox$ на 1 единицу влево.

Alternatively, раскроем модуль: $y = \sqrt{x+1}$ и $y = -\sqrt{x+1}$.

Построение графика:

1. Берем график из пункта 1) (параболу $y^2=x$).
2. Сдвигаем его на 1 единицу влево. Вершина параболы переместится из точки (0, 0) в точку (-1, 0).

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке (-1, 0), симметричная относительно оси абсцисс ($Ox$) и с ветвями, направленными вправо.

4) $|y+1| = \sqrt{|x|+1}$

Область определения: $|x|+1 \ge 0$. Поскольку $|x| \ge 0$, это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.

Раскроем модуль при $y$: $y+1 = \sqrt{|x|+1}$ и $y+1 = -\sqrt{|x|+1}$. Это дает две функции: $y = \sqrt{|x|+1} - 1$ и $y = -\sqrt{|x|+1} - 1$.

Построим график первой функции $y_1 = \sqrt{|x|+1} - 1$:

1. Строим график $y = \sqrt{x+1}$ для $x \ge 0$. Он начинается в точке (0, 1) и идет вправо-вверх.
2. Так как функция $y = \sqrt{|x|+1}$ чётная, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси $Oy$. Получаем кривую, похожую на букву V с закруглением внизу, с минимумом в точке (0, 1).
3. Сдвигаем полученный график на 1 единицу вниз, чтобы получить график $y_1 = \sqrt{|x|+1} - 1$. Его минимум будет в точке (0, 0).

График второй функции $y_2 = -\sqrt{|x|+1} - 1$ получается из графика $y = \sqrt{|x|+1}$ отражением относительно оси $Ox$ и последующим сдвигом на 1 единицу вниз. Его максимум будет в точке (0, -2).

Ответ: График состоит из двух кривых, симметричных относительно оси ординат ($Oy$). Первая кривая $y = \sqrt{|x|+1} - 1$ имеет минимум в точке (0, 0) и ветви, направленные вверх. Вторая кривая $y = -\sqrt{|x|+1} - 1$ имеет максимум в точке (0, -2) и ветви, направленные вниз.

5) $|y| = \sqrt{|x+1|}$

Область определения: $|x+1| \ge 0$, что верно для всех действительных $x$.

Уравнение равносильно совокупности $y = \sqrt{|x+1|}$ и $y = -\sqrt{|x+1|}$.

Построим график $y = \sqrt{|x+1|}$:

1. Строим график $y = \sqrt{|x|}$. Для $x \ge 0$ это $y=\sqrt{x}$, а для $x < 0$ — симметричное отражение относительно оси $Oy$. Получается "галочка" с закругленными ветвями и вершиной в (0, 0).
2. Сдвигаем график $y = \sqrt{|x|}$ на 1 единицу влево, чтобы получить $y = \sqrt{|x+1|}$. Вершина сместится в точку (-1, 0).

Итоговый график уравнения $|y| = \sqrt{|x+1|}$ состоит из построенного графика $y = \sqrt{|x+1|}$ и его симметричного отражения относительно оси $Ox$.

Ответ: График состоит из двух кривых, симметричных относительно оси $Ox$ и прямой $x=-1$. Он похож на две "галочки" с закругленными ветвями, исходящие из одной вершины в точке (-1, 0), одна из которых направлена вверх, а другая — вниз.

6) $|y|+1 = \sqrt{|x|+1}$

Преобразуем уравнение: $|y| = \sqrt{|x|+1} - 1$.

Поскольку $|y| \ge 0$, должно выполняться условие $\sqrt{|x|+1} - 1 \ge 0$. Это неравенство равносильно $\sqrt{|x|+1} \ge 1$, или $|x|+1 \ge 1$, что дает $|x| \ge 0$. Это верно для всех действительных $x$. Таким образом, область определения — все действительные числа.

Уравнение равносильно совокупности $y = \sqrt{|x|+1} - 1$ и $y = -(\sqrt{|x|+1} - 1) = 1 - \sqrt{|x|+1}$.

Построение графика:

1. Строим график $y_1 = \sqrt{|x|+1} - 1$. Этот график уже был построен в пункте 4). Это кривая, симметричная относительно оси $Oy$, с минимумом в точке (0, 0) и ветвями, направленными вверх.
2. Строим график $y_2 = 1 - \sqrt{|x|+1}$. Этот график является симметричным отражением графика $y_1$ относительно оси $Ox$. Это кривая, симметричная относительно оси $Oy$, с максимумом в точке (0, 0) и ветвями, направленными вниз.

Объединение этих двух графиков и есть искомый график.

Ответ: График состоит из двух кривых, исходящих из точки (0, 0). Одна кривая направлена ветвями вверх, другая — вниз. График симметричен как относительно оси абсцисс, так и относительно оси ординат.